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数学 / riemann-zeta-function

黎曼ζ函数

黎曼ζ函数是一个复变函数，其解析性质蕴含了素数及其分布的基本信息。

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黎曼ζ函数记作 ζ(s)\zeta(s)，是以复数为自变量的函数，将数论与复分析联系起来。它最初定义为正整数幂的倒数之和，随后延拓至整个复平面，仅在 s=1s=1 处有一个单极点。它的乘积表示涉及所有素数，而其零点的位置与素数的分布密切相关。(dlmf.nist.gov)

定义与收敛性

对于 s=σ+its=\sigma+it，当实部 σ>1\sigma>1 时，定义黎曼ζ函数的无穷级数为

ζ(s)=∑n=1∞1ns,n−s=e−slog⁡n.\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}, \qquad n^{-s}=e^{-s\log n}.

这是一个所有系数均为 11 的狄利克雷级数。它在这一半平面内绝对收敛：其第 nn 项的绝对值为 n−σn^{-\sigma}，而对应的实数级数在 σ>1\sigma>1 时收敛。在 s=1s=1 处，该级数成为发散的调和级数。(dlmf.nist.gov)

在其他区域，ζ(s)\zeta(s) 通过解析延拓定义，而不是对定义它的级数作通常意义下的求和。延拓后的函数是一个亚纯函数，仅在 s=1s=1 处有一个极点，其留数为 11。特别地，

lim⁡s→1(s−1)ζ(s)=1.\lim_{s\to1}(s-1)\zeta(s)=1.

因此，必须区分原级数的收敛域与延拓后函数的定义域。(dlmf.nist.gov)

欧拉乘积与素因数分解

当 Re⁡s>1\operatorname{Re}s>1 时，ζ函数具有如下欧拉乘积表示：

ζ(s)=∏p prime11−p−s.\zeta(s)=\prod_{p\ \mathrm{prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}.

它与素数之间的联系源于算术基本定理。将每个因子展开为等比级数，得到

(1−p−s)−1=1+p−s+p−2s+⋯ .(1-p^{-s})^{-1} =1+p^{-s}+p^{-2s}+\cdots.

将这些展开式相乘后，每个正整数恰好对应一项 n−sn^{-s}，因为每个正整数都有唯一的素因数分解。绝对收敛性保证了这种展开与重排的合法性。(dlmf.nist.gov)

欧拉乘积不仅是另一种表达式：它通过解析函数表达了整数的乘法结构。它还意味着 ζ(s)\zeta(s) 在 Re⁡s>1\operatorname{Re}s>1 内没有零点。这一形式的乘积不能直接用于该半平面之外。(dlmf.nist.gov)

解析延拓与积分表示

一种有用的表示借助于狄利克雷η函数；该函数在 Re⁡s>0\operatorname{Re}s>0 时定义为

η(s)=∑n=1∞(−1)n−1ns.\eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}.

它满足

η(s)=(1−21−s)ζ(s).\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s).

因此，η(s)/(1−21−s)\eta(s)/(1-2^{1-s}) 将原来的ζ级数延拓到了更大的区域。在分母除 s=1s=1 以外的零点处，应以极限值消去商式的可去奇点。(dlmf.nist.gov)

一个涉及伽马函数的积分表示为

Γ(s)ζ(s)=∫0∞xs−1ex−1 dx,Re⁡s>1.\Gamma(s)\zeta(s) =\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx, \qquad \operatorname{Re}s>1.

推导时，先将 (ex−1)−1(e^x-1)^{-1} 展开为 ∑n≥1e−nx\sum_{n\ge1}e^{-nx}，再逐项积分。每一项的积分结果为 Γ(s)n−s\Gamma(s)n^{-s}。这一表示将幂的倒数之和与指数函数的积分联系起来；其他积分公式则可延伸到复平面中更广的区域。(dlmf.nist.gov)

函数方程

ζ函数满足如下函数方程：

ζ(s)=2sπs−1sin⁡ ⁣(πs2)Γ(1−s)ζ(1−s).\zeta(s) =2^s\pi^{s-1} \sin\!\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s)\zeta(1-s).

该方程将函数在 ss 处的值与在 1−s1-s 处的值联系起来。当个别因子出现极点或零点时，应在亚纯函数的意义下理解这一恒等式，并通过极限处理相互抵消的因子。(dlmf.nist.gov)

一种对称形式使用黎曼ξ函数：

ξ(s)=12s(s−1)π−s/2Γ ⁣(s2)ζ(s).\xi(s)=\frac12s(s-1)\pi^{-s/2} \Gamma\!\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s).

表面上的奇点相互抵消，因此 ξ(s)\xi(s) 在整个复平面上解析，且

ξ(s)=ξ(1−s).\xi(s)=\xi(1-s).

这种归一化形式明确体现了关于竖直直线 Re⁡s=12\operatorname{Re}s=\tfrac12 的对称性。它的零点恰好就是 ζ(s)\zeta(s) 的非平凡零点。(dlmf.nist.gov)

特殊值

在正偶数处，ζ函数的值可用伯努利数计算：

ζ(2m)=(−1)m+1B2m(2π)2m2(2m)!,m≥1.\zeta(2m)= (-1)^{m+1}\frac{B_{2m}(2\pi)^{2m}}{2(2m)!}, \qquad m\ge1.

例如，

ζ(2)=π26,ζ(4)=π490,ζ(6)=π6945.\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6},\qquad \zeta(4)=\frac{\pi^4}{90},\qquad \zeta(6)=\frac{\pi^6}{945}.

第一个恒等式给出了平方倒数级数的和，这一求和问题称为巴塞尔问题。(dlmf.nist.gov)

在非正整数处，

ζ(0)=−12,ζ(−n)=−Bn+1n+1(n≥1).\zeta(0)=-\frac12,\qquad \zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1} \quad(n\ge1).

特别地，

ζ(−1)=−112,ζ(−2m)=0(m≥1).\zeta(-1)=-\frac1{12},\qquad \zeta(-2m)=0\quad(m\ge1).

一个相关的导数值为

ζ′(0)=−12log⁡(2π).\zeta'(0)=-\frac12\log(2\pi).

这些恒等式描述的是解析延拓后的函数。ζ(−1)=−1/12\zeta(-1)=-1/12 并不意味着 1+2+3+⋯1+2+3+\cdots 收敛到一个负数：它在通常意义下的部分和会无限增大。解析延拓与通常意义下的收敛是不同的运算。(dlmf.nist.gov)

零点与黎曼猜想

位于 −2,−4,−6,…-2,-4,-6,\ldots 的零点称为平凡零点。函数方程中的正弦因子解释了这些零点的出现。其余所有零点都位于临界带

0<Re⁡s<1.0<\operatorname{Re}s<1.

非平凡零点有无穷多个，其集合既关于实轴对称，也关于临界线 Re⁡s=12\operatorname{Re}s=\tfrac12 对称。(dlmf.nist.gov)

黎曼猜想断言，每个非平凡零点都位于临界线上。目前已知临界线上有无穷多个零点，但这并不能证明所有非平凡零点都在该线上。根据克雷数学研究所的信息，这一猜想仍未解决。无论有限的数值验证覆盖多大范围，都不能单凭这些验证证明关于所有零点的命题。(dlmf.nist.gov)

与素数分布的联系

素数定理指出，

π(x)∼xlog⁡x,x→∞,\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}, \qquad x\to\infty,

其中 π(x)\pi(x) 表示不超过 xx 的素数个数，∼\sim 表示两者之比趋于 11。经典的解析证明依赖于ζ函数在 Re⁡s=1\operatorname{Re}s=1 上没有零点这一事实。雅克·阿达马和夏尔-让·德拉瓦莱·普桑于1896年分别独立证明了这条边界上不存在零点。(dlmf.nist.gov)

零点的位置也决定了素数计数近似公式的误差。特别地，黎曼猜想等价于如下估计：

π(x)=Li⁡(x)+O ⁣(xlog⁡x),\pi(x)=\operatorname{Li}(x) +O\!\left(\sqrt{x}\log x\right),

其中可以取

Li⁡(x)=∫2xdtlog⁡t.\operatorname{Li}(x)=\int_2^x\frac{dt}{\log t}.

这里，大O记号表示误差的绝对值不超过所给函数的某个常数倍。素数定理描述了主要的平均趋势，而黎曼猜想则会对偏离这一趋势的程度给出严格得多的界。(dlmf.nist.gov)

历史发展

这一函数以波恩哈德·黎曼的名字命名。他在1859年的论文《论小于给定数值的素数个数》中，将其作为复变函数进行了研究。黎曼把它的零点与素数计数联系起来，并提出了关于这些零点实部的猜想。他的论文奠定了一个研究框架，使ζ函数的解析性质成为研究素数分布的工具。(claymath.org)

数值计算与相关函数

数值计算需要根据自变量选择合适的公式。在 Re⁡s>1\operatorname{Re}s>1 时可以直接求和，而欧拉–麦克劳林展开则给出带有修正项及可控余项的有限和。在临界线上，当高度 tt 很大时，可利用近似函数方程，将计算化为两个各约含 t/(2π)\sqrt{t/(2\pi)} 项的和，而不是使用发散的定义级数。黎曼–西格尔公式进一步改进了这一方法，适用于涉及零点的计算。(dlmf.nist.gov)

赫尔维茨ζ函数通过平移各项，推广了原来的定义级数：

ζ(s,a)=∑n=0∞(n+a)−s.\zeta(s,a)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+a)^{-s}.

当 aa 为正实数时，该级数在 Re⁡s>1\operatorname{Re}s>1 时收敛，且 ζ(s,1)=ζ(s)\zeta(s,1)=\zeta(s)。与黎曼ζ函数一样，它也可以关于 ss 作亚纯延拓。(dlmf.nist.gov)

ζ函数还可作为表达算术恒等式的狄利克雷生成函数。例如，

∑n=1∞μ(n)ns=1ζ(s),Re⁡s>1,\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n^s} =\frac{1}{\zeta(s)}, \qquad \operatorname{Re}s>1,

其中，莫比乌斯函数 μ(n)\mu(n) 在 nn 含有素数平方因子时等于零；否则，当 nn 有 kk 个不同的素因子时，其值为 (−1)k(-1)^k。这类恒等式将对 ζ(s)\zeta(s) 的解析运算与整除性及乘法算术性质联系起来。(dlmf.nist.gov)

参考来源

  1. DLMF: §25.2 Definition and Expansionsdlmf.nist.gov
  2. DLMF: §27.4 Euler Products and Dirichlet Seriesdlmf.nist.gov
  3. DLMF: §25.5 Integral Representationsdlmf.nist.gov
  4. DLMF: §25.4 Reflection Formulasdlmf.nist.gov
  5. DLMF: §25.6 Integer Argumentsdlmf.nist.gov
  6. DLMF: §25.10 Zerosdlmf.nist.gov
  7. Riemann Hypothesis — Clay Mathematics Instituteclaymath.org
  8. DLMF: §27.12 Asymptotic Formulas: Primesdlmf.nist.gov
  9. Riemann's 1859 Manuscript — Clay Mathematics Instituteclaymath.org
  10. DLMF: §25.9 Asymptotic Approximationsdlmf.nist.gov
  11. DLMF: §25.11 Hurwitz Zeta Functiondlmf.nist.gov