米勒指数 · aiwiki.page

米勒指数是由三个整数组成的一组数，通常写作 $(hkl)$ ，在晶体学中用于描述晶格内一组平行平面的取向。它们是相对于所选晶胞的轴定义的，而不是相对于外部坐标系定义的。同一组整数也用于标记倒易空间中的位置和衍射反射，不过反射指数不必约为最简整数比。(dictionary.iucr.org)

几何定义

选取由向量 $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$ 构成的晶体学基（线性代数）。将一个平面在这些轴上的截距表示为相应晶胞向量的倍数，其米勒指数便与这些倍数的倒数成正比。例如，截距为 $2a,3b,c$ 时，取倒数得到 $1/2,1/3,1$ ，再乘以六，便得到 $(326)$ 。使用原始晶格基标记取向时，通常将这些整数约去公因子，使其没有公因子。对于带心的常规晶胞，则需要格外注意：有效的晶格平面指数不一定互素。(dictionary.iucr.org)

与平面平行的轴，其截距为无穷大，因此对应的指数为零。负截距产生负指数，通常用数字上方的横线表示： $(\bar{1}10)$ 表示 $(-1,1,0)$ 。若平面经过原点，可以用一个与之平行的平面确定其取向，从而避免对零截距取倒数。指数指定的是取向，而不是某个特定平面的绝对位置。(doitpoms.ac.uk)

例如， $(100)$ 描述与 $\mathbf b$ 轴和 $\mathbf c$ 轴平行的平面；一个代表性的 $(110)$ 平面在前两条轴上的截距以晶胞单位计相等，并与第三条轴平行。一个代表性的 $(111)$ 平面在三条轴上的截距各为一个晶胞长度。即使各轴长度不等或彼此斜交，这些构造仍然成立。(iucr.org)

晶面、晶向与对称性

不同类型的括号用于区分几种相关对象：

$(hkl)$ ：一种晶面取向或一组平行晶面。
$\{hkl\}$ ：由晶体对称性联系起来的一族晶面。
$[uvw]$ ：一个晶向。
$\langle uvw\rangle$ ：一族对称等价的晶向。

对于立方晶体， $\{100\}$ 包括法线沿各晶胞轴正、负方向的晶面。晶面是否等价取决于实际的晶体对称性；任意交换指数的顺序，并不总能得到等价晶面。(doitpoms.ac.uk)

晶向指数指定一个与 $u\mathbf a+v\mathbf b+w\mathbf c$ 成正比的正空间向量，不应与晶面指数混淆。在立方晶轴系中， $[hkl]$ 垂直于 $(hkl)$ ，但对于非立方晶胞，这一关系通常不成立。晶向 $[uvw]$ 与晶面 $(hkl)$ 平行，当且仅当满足魏斯晶带定律：

hu+kv+lw=0.

这一条件适用于所有晶系，包括晶轴斜交的晶系。(doitpoms.ac.uk)

倒易空间解释

倒易晶格为晶面指数提供了不依赖于坐标系的解释。按照晶体学惯例，其基向量满足

\mathbf a^*\cdot\mathbf a=1,\qquad \mathbf a^*\cdot\mathbf b=\mathbf a^*\cdot\mathbf c=0,

而 $\mathbf b^*$ 和 $\mathbf c^*$ 也满足相应的关系。式中的点表示欧氏内积。向量

\mathbf g_{hkl}=h\mathbf a^*+k\mathbf b^*+l\mathbf c^*

垂直于这些指数所表示的平面。在分数坐标 $x,y,z$ 下，这些平面的方程为

hx+ky+lz=C.

改变 $C$ 的值，就能选取不同的平行平面，而不改变其取向。(dictionary.iucr.org)

指数对应的面间距为

d_{hkl}=\frac{1}{\|\mathbf g_{hkl}\|},

其中分母是该向量的范数。对于边长为 $a$ 的立方晶胞，此式变为

d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}.

对于正交晶胞，

\frac{1}{d_{hkl}^{2}} =\frac{h^2}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}+\frac{l^2}{c^2}.

晶轴斜交的晶胞还需要加入由倒易度量张量确定的交叉项。这些公式采用不含 $2\pi$ 因子的倒易向量；若采用另一种物理学惯例，则面间距为 $2\pi/\|\mathbf G_{hkl}\|$ 。(materials.duke.edu)

六方晶系的指数表示

对于六方晶轴系，米勒–布拉维指数采用四个整数，写作 $(hkil)$ 。三条等价的基面轴彼此相隔 $120^\circ$ ，第四条轴则垂直于基面。这种冗余表示要求

h+k+i=0.

因此，使用两条基面轴和一条垂直轴表示为 $(hkl)$ 的晶面，在四指数表示法中变为 $(hk\bar{h+k}l)$ 。基面为 $(0001)$ ，一种常见的柱面为 $(10\bar{1}0)$ 。四指数表示法能更直观地体现基面的对称性。晶向指数有单独的转换规则，不能简单地插入 $i=-(h+k)$ 来得到。(dictionary.iucr.org)

衍射与反射指数

在X射线晶体学中，米勒指数通过倒易晶格坐标标识衍射反射。布拉格定律 $2d\sin\theta=n\lambda$ 将面间距与波长、衍射角联系起来。同一取向的高阶反射也可以用成倍的整数来标记：与 $(100)$ 对应的二阶反射标记为 $200$ ，其指数对应的面间距为 $d_{200}=d_{100}/2$ 。因此，将反射指数约为最简整数比会丢失重要信息。(iucr.org)

指数描述的是反射的几何关系，而不是反射是否具有可测量的强度。晶胞内各原子的贡献通过结构因子叠加，相消干涉可导致系统消光。对于面心晶格，带心条件只允许 $h,k,l$ 全为偶数或全为奇数的反射出现；其他结构条件还可能使更多反射消失。为测得的衍射峰或斑点赋予指数的过程称为指标化，这是解析单晶衍射图样和粉末衍射图谱的关键步骤。(circle-test.iucr.org)