计算器 · aiwiki.page

计算器是一种设备或程序，能够对用户输入的数字进行算术及其他数学运算，通常将结果显示在屏幕上。计算器既有简单的加法器，也有可编程的科学计算器和图形计算器；其形式既有手动操作的机械装置，也有运行在智能手机和个人计算机上的软件。计算器是人们最熟悉的专用计算设备，其发展史将数学与现代计算机的发展联系在一起。

计算器改变了人们在商业、科学、工程和教育中处理数字的方式。19世纪末，机械式计算机器接管了办公室里的常规会计工作。1960年代和1970年代，电子计算器成为集成电路和微处理器最早的大众消费市场之一，其价格的持续下降也使电子技术进入了日常生活。此外，计算器还引发了关于算术应当如何教学和考核的长期争论。

本词条将沿着这一设备的发展脉络展开：从早期的计数辅助工具和十七世纪的机械计算装置，到向电子技术的转变，再到其内部逻辑、数值方法、功能特性以及后来的软件替代品。随后，词条将介绍计算器行业的经济史，以及关于其在教育中使用的争论。

定义与分类

计算器是一种设备，用于依据一组固定的、预先定义的功能执行算术及相关的数学运算。它与计算机的区别在于灵活性。通用计算机运行存储的程序，几乎可以实现任何算法，而计算器的功能范围由制造商设定，其用户界面也围绕这些功能设计。可编程计算器模糊了这一界限。许多20世纪70年代的袖珍机型允许用户存储一系列按键操作并在之后调用，一些后来的图形计算器还能运行用高级语言编写的程序。这类设备算作计算器还是小型计算机，很大程度上是约定俗成的问题，因为其底层逻辑相同，区别只在于程度和用途。

计算器通常按其提供的功能范围分类。基础机型可处理四则运算、百分比和平方根。科学计算器增加了三角函数和双曲函数、对数、指数、幂、阶乘、复数运算以及进制转换，是中学和大学理工科课程的标准选择。金融计算器专为货币时间价值问题设计，如贷款摊还、净现值和内部收益率的计算；惠普HP-12C（1981年）成为长期流行的专业参考机型。统计计算器增加了汇总统计、标准差和线性回归功能。图形计算器可以在屏幕上绘制函数图像，在数学教学中广泛使用。可编程机型允许用户编写程序，其他多数类别与之有所重叠。

界面

大多数计算器共享一套基本界面，包括键盘、显示屏和一组内存寄存器。键盘将输入代码发送给处理器；显示屏历史上曾使用七段发光二极管，后来改用液晶面板，用于显示输入的数字和结果，通常位数固定。内存寄存器保存数值以供之后使用。典型按键包括M+和M−（分别对存储值进行加法和减法）、MR（调用存储值）和MC（清除存储值）。许多机型还会将上一次的结果保存在"ANS"寄存器中，以便在下一次计算中重复使用。

一个核心设计问题是设备应如何运用运算优先级。简单的链式计算器严格按照按键顺序求值，因此输入 2 + 3 × 4 得到 20。采用代数输入法的科学计算器则应用运算符优先级，同样的输入得到 14，并提供括号以显式分组。惠普的逆波兰表示法使用栈而非括号，要求用户自行明确运算顺序，从而回避了这一问题。每种方法在易用性上各有取舍，经常在不同机型之间切换的用户常会发现，相同的按键操作得到的结果并不相同。

物理形态与术语含义的扩展

计算器有多种实物形态。台式机配有大按键，有些还带打印机，是为办公室和会计工作设计的。袖珍计算器在20世纪70年代价格低廉到可以大批量销售，是最为人熟悉的类型。使用LED显示屏的计算器腕表出现于70年代中期，是一种短暂流行的消费类新奇产品。运行在计算机和手机上的软件计算器构成第四类，如今承担了大多数日常计算。

"计算器"一词本身的含义也发生了变化。17世纪时，"calculator"指的是进行计算的人，后来才用于指代机器。随着时间推移，这个词的涵盖范围已从简单的键盘设备扩展到符号代数程序，因此仅以硬件为依据的定义已无法涵盖人们所说的"计算器"的全部范围。

早期计数辅助工具与模拟装置

在有文字记录的大部分历史中，算术运算依靠实物计数器完成，而不是依靠机器。在美索不达米亚，会计和书吏用代币和木板上的刻痕来记录数量；在古希腊，一种名为 abax 的计算板也用于同样的算术。在中国，名为"算盘"的珠架成为商业和会计的标准工具，此后日本吸收并改良了这一工具，称之为 soroban。这些工具用来保存数字，并让使用者逐步移动算珠或计数器，但具体的运算步骤仍由操作者决定，进位和中间结果也需要操作者自己记录。从这个意义上说，它们是记数的辅助工具，而不是计算机器。

古代的齿轮装置

安提基特拉机械表明，齿轮计算的出现远早于十七世纪。它是在希腊安提基特拉岛附近的一艘沉船中被发现的，通常认为其制造年代约在公元前150至前100年之间，但也有其他推测。借助齿轮、指针和刻度盘，它能显示月相、太阳和月亮在黄道带上的运行轨迹，还能预测即将发生的日食和月食。使用者转动手摇曲柄输入日期，齿轮系统便带动指针指示天体的位置。该装置使用了差动齿轮，而这种机构此前被认为是十六世纪才发明的。差动装置使机器能够合成两个转动，例如表示太阳运动与月球运动之间的差值。原装置仅有约三分之一保存下来，共82块残片，因此其设计大部分是依据推断重建的。

对数、纳皮尔算筹与计算尺

近代早期在快速算术方面的决定性进展首先是概念上的突破。1614年，苏格兰梅奇斯顿男爵约翰·纳皮尔提出了使计算尺成为可能的数学概念——对数。对数把乘法问题转化为加法，把除法问题转化为减法，即 $\log(ab)=\log a+\log b$ 。两数相乘可以通过将它们的对数相加来完成；两数相除则可以通过从一个数的对数中减去另一个数的对数来完成。

纳皮尔还制作了一种更为具体的辅助工具。他的九根矩形长条上各刻有一张乘法表，使用者通过排列这些算条读出部分积，再将这些部分积按列相加。这一过程是机械的，但操作者仍需正确地把部分结果相加。随后出现了对数刻度：1620年，伦敦格雷欣学院天文学教授埃德蒙·甘特在一把标准尺上标出了1至10的对数，使用者借助一对分规，通过测量长度即可完成乘除运算。威廉·奥特雷德在约1621年利用这些想法发明了计算尺，其设计沿用了三百多年。

模拟工具与数字机器的比较

像计算尺这样的模拟工具，其精度受刻度读数的限制。使用者通常要凭目测估计最后几位数字，因此结果大约只能精确到三位有效数字。对于许多工程任务来说，这已经足够；十九世纪的工程师便认识到，精确到小数点后第三位，就足以建造出优良的结构。然而，主要的负担仍落在人身上。使用者必须判断数量级，确定小数点的位置，并读懂各种刻度，每一步都可能引入误差。纳皮尔算筹和算盘都要求操作者把部分结果累加起来，而下文将讨论的后期数字机器则会接管这些步骤，直接显示完整的数字。两者的权衡在于：模拟工具便宜、便携且易于理解，但对使用者的技能和判断力要求更高。

1900年之前的机械计算器

1900年之前，机械计算器将算术运算从算板和算盘转移到机器上，用齿轮和轮盘来保存数字。这段历史始于17世纪的几台单独制作的原型机，到19世纪90年代，标准化、可商购的机器已经成为常规办公设备。

自动运算的早期尝试

图宾根大学教授威廉·席卡德在1623年写给约翰内斯·开普勒的信中描述了一台"计算钟"。它的齿轮轮盘可以对六位数进行加减运算，溢出时会响铃示警，另有一组纳皮尔算筹辅助乘法运算。这台机器显然毁于火灾，此后直到20世纪，人们只能通过席卡德的图纸和通信了解它。

布莱兹·帕斯卡从1642年开始研制他的机器，为的是帮助担任鲁昂税务官的父亲处理冗长的数字列表。帕斯卡计算机通过相互连接的轮盘完成加减法，1649年获得了王室特许专营权的保护。帕斯卡制作了几十台原型机，但这些机器造价昂贵且容易损坏，而且无法直接进行乘法运算。

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在17世纪70年代制造了他的阶梯式计算器。其阶梯鼓轮是一个带有长短渐变齿的圆柱体，使机器能够通过重复加减法并配合移位的进位架来完成乘除运算。莱布尼茨的原型机并不可靠，进位机构始终是个难题。尽管如此，这种阶梯鼓轮仍然成为此后大约两个世纪里各类机器的核心设计原理。

托马斯·德·科尔马的算术仪

夏尔·格扎维埃·托马斯·德·科尔马于1820年为他的算术仪申请了专利，该机器采用阶梯鼓轮和滑动式键盘输入。它是第一台既可靠又能批量生产的机械计算器。在巴黎的商业化生产持续了几十年，销量超过一千台。它的成功表明，计算器可以是一种商品，而不仅仅是实验室里的奇巧之物。

键盘式与拨轮式机器

1887年，多尔·E·费尔特在芝加哥为康普托计算器申请了专利。按下按键即可设定数字，机器随即完成加法，操作者只需一个动作就能输入一个数字，而不必为每一位数字转动摇柄。键盘输入既快捷又减少了错误，这台机器成为之后台式加法机的范本。大约同一时期，拨轮式机器也出现了。威尔戈特·奥德纳的设计在19世纪70年代和80年代间研发，使用带有可伸缩销钉的轮盘。它结构紧凑，制造成本低，后来被布伦斯维加等德国机器采用。办公工作也因此发生了变化：加法机可以由受过训练的职员操作，而康普托计算器还催生了一种新职业——机器操作员，其中许多是女性。

会计与政府的需求

这一市场之所以扩大，是因为这些机器满足了会计、银行、保险和政府统计等领域的需求。记账需要反复进行加法运算，计算利息和价格需要乘法，而大量的合计数又必须逐一核对。保险公司需要精算计算，全国性人口普查则产生了大量的制表工作。早期机器相对于职员的工资而言价格高昂，因此购买者是企业和机构，而非个人。日益增长的需求支持了制造商，也促使他们不断改进设计，为后文讨论的20世纪的发展奠定了基础。

机械结构与工作原理

机械计算器用一个物理元件的旋转位置来存储每一位十进制数字，由摇柄或键盘推动这些元件转动。阶梯鼓相传由莱布尼茨发明，是一个带有不同长度齿的圆柱体：代表 1 的齿最长，代表 9 的齿最短。一个可沿鼓轴滑动的齿轮与操作者设定的齿数啮合，因此转动摇柄时，计数器恰好前进所选的数字。之后，针轮机构在很大程度上取代了阶梯鼓，它以另一种布局达到同样的效果。每个轮子上都有若干销钉，侧面的拨杆可以把销钉伸出，从零到九逐档设定，一圈转动即可加上所选数字。针轮式机器结构更为紧凑，自 1890 年威尔戈德特·奥德纳取得专利后，成为纯机械计算器的主流设计。

核心的工程难题是进位。每个数字轮从 9 转回 0 时，左边的轮子必须同时进一。莱布尼茨的阶梯式计算机就体现了这一困难：如果相邻的轮子已经显示 9，进位就无法继续传递，操作者只能借助从机器边缘伸出的一个圆盘手动修正结果。因此，设计者需要能够在一次操作中连续跨越多个数位、且不出差错的进位链。进位中途停止会产生看似合理却实际错误的结果，这使得可靠性比单纯的运算速度更为关键。

乘法建立在累加器和另一个输入寄存器之上：累加器保存不断累积的总和，输入寄存器保存乘数。由于乘法就是重复加法，机器的做法是：对乘数的每一位，把被乘数按该位的数值加入累加器若干次，然后将进位滑架移到下一位。例如计算 125 乘以某数，操作者先输入被乘数，摇五次摇柄，把滑架移一位后摇两次，再移一位后摇一次。转数计数器与结果寄存器同步移动，因此操作者事后可以核对乘数。除法则反向进行，通过重复减法和向下移位完成。由于累加器不必从零开始，人们可以继续向同一寄存器中加法，从而算出若干乘积之和。

库尔特·黑尔施塔克于 20 世纪 30 年代在维也纳设计、1938 年取得专利的 Curta，展示了这一原理可以被压缩到何种程度。传统机器每个数位都需要一个鼓，因此容量越大，机器也越大。Curta 则用一个带补数的单一阶梯鼓，周围环绕设置齿轮，并通过补数运算完成减法，从而省去了单独的借位机构。战后，该机器在列支敦士登开始投产，全机共有 605 个零件。它的体积小、便于携带，正是依靠这个紧凑的鼓；但这种高度集中也带来了局限。大量微小零件的精密制造使其成本高昂，而 II 型的累加器只有 15 位，计数器只有 8 位。开平方等运算需要更长、更依赖手工的步骤，而且其速度无法与电子机器相比，因此在 20 世纪 70 年代被电子计算器取代。

从机电式到电子式计算器

电力在电子技术用于台式计算器之前就已进入这一领域。从20世纪初开始，制造商为键盘驱动式和手摇式机器装上电动机，操作者只需按键，齿轮组则由电动机带动。一些机器使用继电器（即电磁开关）来安排运算的先后顺序。这些电动机驱动的机器比手摇机器更快、更安静，但速度仍受运动部件的限制，进位和寄存机构依然是机械式的。

电子管与最早的台式电子机器

转折点出现在1961年。ANITA Mark VII 和 ANITA Mark VIII 计算器于1961年末同时推出，是世界上最早的全电子台式计算器。它们由英国公司 Bell Punch 生产，该公司的计算器部门自20世纪30年代起就已制造键盘驱动式机器。这两款机器的逻辑电路不是由晶体管构成，而是采用冷阴极开关管；当时晶体管仍是新器件，电气上较为脆弱且价格昂贵。一种称为 Dekatron 的计数管简化了键盘译码，结果显示在12个类似"Nixie"型的数字显示管上。键盘同样仿照康普托计算器（comptometer）设计，是全键盘，每一位数字对应一列按键。在之后两年多的时间里，它们是仅有的商用全电子台式计算器。

此后出现了基于晶体管的台式机。1961年起销售的台式电子计算器采用电子管，1964年起则采用晶体管。ANITA的设计清楚地反映了这一时期的限制：电子速度已经可以实现，但可靠性、功耗和元件成本仍然决定着产品能够以什么形式上市。

手持式原型与微处理器

20世纪60年代中期，德州仪器（TI）开始转向体积小得多的产品。公司总裁帕特·哈格蒂（Pat Haggerty）希望推出一款使用芯片的消费类产品，正如早先TI的晶体管曾在晶体管收音机中广泛应用一样。由杰克·基尔比（Jack Kilby）、杰瑞·梅里曼（Jerry Merryman）和詹姆斯·范·塔塞尔（James Van Tassel）等人组成的团队于1965年开始研制一款掌上大小的设备。他们1967年的原型机被称为 Cal-Tech，使用电池供电，可接受六位数字输入，并能用热敏打印机打印最多12位的结果，重约45盎司。得益于TI团队的巧思，大部分元件被集成到仅有的四块集成电路中。该团队的专利申请于1967年提交，直到1974年才以美国专利第3,819,921号获得授权。

Busicom 项目则来自另一个方向。1969年，这家日本计算器制造商请英特尔为其新款 Busicom 141-PF 打印式计算器定制一套12块芯片。英特尔工程师特德·霍夫（Ted Hoff）则提出了一种只需四块芯片的新设计，其中包括一块可编程芯片。这块可编程芯片后来被称为英特尔4004，成为第一款通用微处理器。该芯片于1971年11月推出，采用4位中央处理单元。之后，英特尔以归还Busicom为其开发投入的6万美元为条件，从Busicom手中买回了相关权利。然而就计算器而言，微处理器只是一条弯路，因为莫斯特克公司（Mostek）几乎同时完善了"单芯片计算器"，使计算器电子元件的成本下降得更为急剧。

HP-35与价格的暴跌

惠普（Hewlett-Packard）于1972年推出的HP-35，标价约为395美元，通常被视为袖珍计算器的转折点。它是首款提供三角函数和对数函数的袖珍型号，并采用发光二极管（LED）显示屏。LED耗电较多，会缩短电池寿命，因此低功耗显示技术成为商业上的优先方向。液晶显示器（LCD）的耗电电流小得多，夏普（Sharp）的LCD机型于20世纪70年代初至中期相继推出。芯片成本下降和显示器更便宜，使这种设备从昂贵的仪器变成了消费品。第一款大规模销售的手持计算器 Bowmar Brain 于1971年售价245美元。不到十年，类似的计算器售价仅为10美元！

到这十年结束时，20世纪60年代占主导地位的台式机已被手持式产品取代，行业也从少数专业厂商转变为日本、美国和欧洲众多企业的大规模生产。

电子设计与内部运作

电子计算器以两种电压电平的组合形式存储数字，因此大多数计算器的内部运算采用二进制，其中每个比特要么为 0，要么为 1。运算由逻辑门构成，例如与门、或门、非门，以及制造成本最低的与非门或或非门。这些逻辑门由单片集成电路上的晶体管制成，其行为由布尔代数描述。

加法是核心运算。半加器接收两个输入位 A 和 B，产生和 $S = A \oplus B$ 以及进位 $C = AB$ 。全加器还接收一个进位输入位 $C_{in}$ ，得到 $S = A \oplus B \oplus C_{in}$ 和 $C_{out} = AB + C_{in}(A \oplus B)$ 。把全加器串接起来就得到行波进位加法器，用于对多位数求和。减法通常通过加上补码来完成，乘法和除法则由重复的移位、加法和减法构成。中间数值保存在寄存器中，寄存器是由一组小型存储单元组成，用来保存操作数、累加器以及显示屏上的数值。算术逻辑单元（ALU）执行控制逻辑所选定的运算。许多专用计算器芯片每次只处理一个十进制数位，这样可以让逻辑电路保持简单。4004 微处理器是为一个计算器项目开发的，它是一种通用设计，因此并不是这种方法的典型例子。

许多计算器使用二进制编码的十进制（BCD），其中每个十进制数位占用四个比特。因此一个八位显示需要 32 比特，并且每组中 1010 到 1111 这些编码未被使用，加法器需要额外的修正步骤。BCD 省去了与显示之间的转换，并且能精确表示十进制小数。纯二进制机器无法精确存储 0.1，因此可能出现舍入误差，而十进制机器可以避免这种情况。纯二进制的存储密度更高，加法也更简单。数的格式也有所不同。定点数运算将小数点固定在某个位置，适用于处理金钱的机器。浮点存储将一个数分解为尾数和指数，从而能表示大得多的范围；科学计算器通常显示约十位的尾数，外加一个较小的两位指数。

键盘按行和列排成矩阵连线。控制器依次驱动各行并读取各列；按下一个键会闭合一个行列交点的接触点，扫描位置即可确定是哪个键。固件随后将该位置解码为一种运算，去抖动逻辑则滤除触点抖动。显示器需要各自的驱动电路。七段 LED 通常采用多路复用，各位数字轮流点亮，速度快到看起来是连续的，从而减少了驱动连接的数量。LCD 必须用交变电压驱动，因为持续的直流偏置会损坏液晶；它的功耗极低，因为它是调制反射光而不是自身发光。

功耗对设计的影响不亚于逻辑电路。早期的 LED 机型耗电量相当大，依赖可更换或可充电的电池，并采用自动关机。低功耗 CMOS 电路和 LCD 使得纽扣电池供电成为可行，之后由硅制成的太阳能电池也为许多 LCD 机型供电，通常还配有备用电池，以便在光线较弱时保持存储数据。

最后，输入方式决定了设备如何处理运算优先级。代数输入允许用户按照常规顺序输入表达式，机器必须保存待处理的运算符，并应用优先级规则（例如先乘后加）以及括号。一些廉价机型则严格从左到右计算，因此 2 + 3 × 4 得到的是 20 而不是 14。逆波兰表示法（RPN）由惠普从 1968 年的 HP-9100A 开始采用，并在 1972 年凭借 HP-35 而广为人知，它把操作数放在前面，运算符放在后面。依次按下 2、ENTER、3、ENTER、4、×、+ 得到 14，不需要括号，也无需优先级规则，因为运算顺序是明确的。RPN 计算器使用一组寄存器构成的栈（在 HP-35 的设计中有四层，分别标记为 X、Y、Z 和 T），这减少了按键次数和中间存储。这种记法需要一定学习，用户必须在头脑中把常规表达式重新排序，这也是为什么代数输入在许多其他厂商中仍然是主流。

数值方法与精度

在硬件有限的情况下计算超越函数

正弦、对数和指数无法通过有限次四则运算得到，因此计算器必须用近似方法求值。教科书中的常用做法是使用泰勒级数或其他幂级数，例如 $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$ 。每一项都需要乘法和除法运算，而在20世纪60年代和70年代初，乘法器电路在芯片面积上代价高昂。因此，计算器设计者更偏爱 CORDIC 方法。CORDIC（COordinate Rotation DIgital Computer，坐标旋转数字计算机）由 Jack Volder 为 B-58 轰炸机的导航计算机开发，并于1959年首次发表。它让一个向量依次旋转一系列固定角度，这些角度的正切值都是2的幂，因此每一步只需加法、减法和位移运算。惠普公司的 HP-35 采用这一方法，在不到一秒的时间内得出三角函数结果。20世纪70年代，十进制版本的 CORDIC 在袖珍计算器中十分常见，这些机器通常使用二进制编码的十进制，而非纯二进制。对数则由一组相关的逐位计算方法处理，将运算归结为反复的加法和减法。

迭代与停止规则

有些量（例如平方根）通过迭代更容易求得。求 $\sqrt{S}$ 的牛顿法反复执行以下步骤 $x_{n+1} = \tfrac{1}{2}\left(x_n + \dfrac{S}{x_n}\right)$ ，从一个粗略的初值开始，初值通常取自表格或输入数的指数。每迭代一次，正确的位数大致翻一番，因此只需少量迭代即可。机器必须决定何时停止。常见的规则是：当相邻两次估计值之差小于与显示精度相关的阈值时停止，或者迭代达到固定次数时停止。停得太早，末位会留下可见误差；停得太晚，则浪费时间和电池电量。

舍入、保护位与显示限制

计算器内部保留的位数多于显示的位数。HP-35 的寄存器保留十四位，用以输出十位结果，多出的位数用作溢出位和保护位，以便在迭代过程中保持符号和精度。当两个非常接近的数相减时，保护位尤为重要，因为此时丢弃低位数字可能抹去大部分有效信息。每次运算仍会对结果进行舍入，这些误差在长串计算中会不断累积。一项计算器专利中的著名例子显示：将 $\sqrt{5}$ 的十位舍入值平方，得到的乘积接近但并不完全等于 5。用户常常对这类结果感到意外，同样的效应也解释了为什么先除以三再乘以三，结果未必恰好等于一。溢出是另一类限制：HP-35 能接受的数值大小约从 $10^{-99}$ 到 $10^{99}$ ，超出这一范围的结果会触发错误或溢出提示。

精度问题并不总是出在用户一侧。早期的 HP-35 存在缺陷，包括某些小角度的正弦值计算不正确。开发者还发现，当时的大型机无法以足够的精度验证计算器的结果，只得与数学表格进行缓慢的比对。

速度、成本与精度之间的权衡

每一个设计选择都要在三项需求之间取得平衡。增加位数和保护位可以提高精度，但会增大寄存器、加法器和显示器，从而增加芯片面积和功耗。CORDIC 这类算法以速度换取简洁：它需要大量迭代，却避免了硬件乘法器。在手持设备中，门电路的成本被认为比速度更重要。设计者还会尽可能精简微码和电路，因为在以有竞争力的价格出售的产品中，即使电路尺寸只减小一点，也很重要。级数展开对某些自变量的收敛速度快于其他自变量，因此实现时通常先将自变量约化到较小的范围内。每台计算器屏幕上显示的答案背后，都是一系列决策：保留多少位数、运行多少次迭代，以及产品的价格和电池续航能够承担多高的精度。

科学型、图形型与可编程型计算器

科学计算器在基本的四则运算键盘之上，提供了范围广得多的功能。典型机型通常具备三角学函数和双曲函数、对数、指数函数、乘方与开方、阶乘，以及平均值和标准差等基础统计学功能。更高端的机型还增加了线性回归、复数运算，以及十进制、十六进制、八进制和二进制等不同进制之间的转换。例如，卡西欧于1985年推出的fx-7000G提供了82种科学函数，同系列的一些后期机型也支持进制转换。科学计算器通常保留代数输入顺序和固定功能的设计，是最常被允许在学校考试中使用的一类计算器。

可编程袖珍计算器

可编程功能在20世纪70年代中期进入袖珍计算器。惠普的HP-25（1975年）可以存储多达49步的程序，其变体HP-25C是最早在断电后仍能保留存储内容的机型之一，因此存储的程序可以跨越多次使用保留下来。HP-29C（1977年）在其程序语言中增加了循环和分支功能。用户需要依次输入按键序列，为程序中的位置设定标签作为跳转目标，然后只需按一个键即可运行存储的程序。按照后来的标准，其内存很小，因此程序通常写得很紧凑，用户还常常需要在程序步数和数据寄存器之间做出取舍。

图形计算器

第一款手持式图形计算器是1985年10月发布的卡西欧fx-7000G。它的点阵液晶屏可以在文本模式（八行，每行十六个字符）与图形模式（约96×64像素）之间切换。它内置了20个基本函数图像，如正弦、余弦和正切，用户也可以输入自己的方程。它的编程内存只有422字节，非常有限，因此该机器采用了一种以符号代替指令的标记化语言。夏普于1986年推出了一款图形机型，惠普于1988年推出HP-28C，德州仪器于1990年推出TI-81。

惠普的HP-48系列于1990年至2003年间销售，成为当时最知名的高端图形计算器产品线。它使用逆波兰表示法（RPN）和RPL语言，显示屏为131×64像素，并可通过扩展内存卡和应用卡进行扩展。德州仪器则将后期机型面向学校：TI-80（1995年）专为初中的代数预备课程和代数课程设计，其图形功能让学生可以将方程与表格和绘制的曲线联系起来。图形功能使人们能够看到函数的变化规律，而不仅仅是读取一个数值结果，这也是这些机器在数学教学中变得普遍的原因。

手持设备上的计算机代数

一些图形计算器更进一步，能够处理符号而不仅仅是数字。HP-28系列于1987至1988年推出，包含符号方程求解功能。德州仪器的TI-92（1995年）是其首款符号计算器，配备了源自Derive软件的计算机代数系统，也是最早提供三维绘图功能的计算器之一。其QWERTY键盘使美国的考试机构将其归类为计算机而非计算器，因此它被禁止用于部分考试。TI-89（1998年）形态更为紧凑，提供符号代数功能，因此像 $x^2-4=0$ 这样的方程可以求出 $x$ 的精确结果 $x=\pm 2$ ，而不只是数值近似。这种输出此前仅限于台式计算机软件。

这些发展模糊了计算器与计算机之间的界限。一台配备全键盘、32位处理器、闪存和符号计算引擎的设备，能够完成过去只有工作站才能胜任的任务，但它仍然是以计算器的身份销售和监管的。后来的机型，例如TI-Nspire（2007年），采用了不同的键盘布局，同时保留了从符号手持机开始的数学功能范围。

软件计算器与计算机代数系统

计算器功能现在已作为普通软件发布。Windows 自带的“计算器”应用随系统预装，提供标准型、科学型和程序员型计算器功能，以及多种计量单位和货币之间的换算工具。其标准模式在输入时立即计算，而科学模式则按照运算优先级计算表达式，这与硬件键盘所面临的设计问题相同。微软于 2019 年以 MIT 许可证发布了该应用的源代码，此后第三方开发者已对其进行复用。例如，Uno Platform 项目决定将该应用移植到网页、Android 和 iOS 平台。网页中嵌入的计算器也遵循类似模式：只需几行脚本，就能在浏览器中实现基本算术运算，无需任何专用硬件。

智能手机已接管了大多数日常算术运算。几乎所有手机都内置计算器应用，电子表格则可处理过去需要台式计算器完成的重复性或表格化计算。专用掌上计算器如今主要用于考试、专业用户和收藏领域。软件也保存了经典硬件。例如，Emu48 模拟器允许 PC 用户模拟 S 系列和 G 系列计算器，以及 HP38G、HP39G、HP40G 和 HP49G 型号。Free42 支持 Android、iOS、Windows、macOS 和 Linux（开源）。模拟也可以是实体的：社区开发的电路板可以替换原装机器的内部元件，其中一款套件适用于 HP 35、45、70 和 80。软件副本的运行速度可能快于原始硬件，但它们对原始逻辑和按键布局的还原程度，仅取决于作者逆向工程的成效。

计算机代数系统（CAS）将计算器的功能从数值结果扩展到符号结果和精确结果。CAS 不会返回十进制近似值，而是可以将 $\sqrt{2}$ 保留为精确量，对多项式因式分解，对表达式求导或积分，并以符号方式求解方程。Mathematica 是一个广泛使用的例子。它是一个计算平台或工具包，涵盖计算机代数、符号与数值计算、可视化和统计等功能。掌上计算器也走了同样的路线。HP Prime 的图形用户界面设有两个独立的主屏幕，其中一个包含基于免费开源 Xcas/Giac 1.5.0 引擎的集成计算机代数系统（CAS），制造商称其为全球体积最小、最薄的支持 CAS 的计算器。Maple 等其他系统在桌面端提供类似的符号功能。

Wolfram Alpha 将这一理念进一步推向通用查询接口。它是一项在线服务，通过基于外部来源“精选数据”的计算直接回答事实性查询，而不是提供文档或网页列表。其公开上线日期为 2009 年 5 月 18 日，并基于 Mathematica 构建。答案是按需计算的，而非从索引中检索，因此该服务运行在超过 10,000 个 CPU 之上。从广义上讲，它也算是一种计算器，但其结果取决于精选数据集，以及解析器对自然语言查询的理解。

软件相对于独立设备有明显优势。软件通常免费或价格低廉，可以更新，并且能在人们已拥有的硬件上运行。例如，Windows 计算器应用会定期加入新功能和错误修复。同样的灵活性也带来风险。早期的 Windows 版本存在一个缺陷：4 减 2 的平方根的结果不为零，这提醒人们，算术的正确性取决于具体实现，而非数学本身。软件还可能收集数据：Windows 计算器应用曾支持关闭从计算器发送到微软服务器的遥测数据。由于每个平台都实现了各自的数值库、显示规则和舍入方式，同一表达式在手机、桌面端和网页上可能得出略有不同的结果。因此，需要可预测结果的用户必须自行验证所用程序的实际行为。

经济与产业史

计算器最初是昂贵的专业工具，大约十年内就变成了廉价的消费品。早期的电子台式机价格高昂：夏普1964年推出的CS-10A机身沉重（重达55磅），售价高达2500美元，但它在技术上迈出了重要一步。随后的竞争和元器件成本下降迅速压低了价格。到1970年，仅日本就有40家计算器制造商，竞争已将价格压到几百美元。卡西欧1972年推出的Mini是第一款面向大众市场定价的计算器。惠普的HP-35于1972年以395美元发售，德州仪器的Datamath可以完成基本算术运算，售价149.95美元。到1976年，德州仪器的TI-30以约25美元的价格显得非常便宜，在当时属于极低的价格。

根本的推动力是规模经济。一旦单个芯片就能完成全部计算，设计成本就可以摊薄到极大的生产规模上，每多生产一台，成本几乎只是硅片、封装和显示屏的费用。这就是集成电路和半导体产业在价格暴跌中处于核心地位的原因，也是市场奖励那些能够大批量生产芯片的企业的原因。

竞争者与联盟

这一行业吸引了多个地区的企业。美国公司包括德州仪器、惠普和Bowmar。日本企业包括夏普、卡西欧、佳能、Busicom和三洋，欧洲厂商如奥利维蒂以及意大利的IME也参与其中。许多早期的日本厂商依赖美国芯片商：夏普（早川）与北美Rockwell Microelectronics合作；佳能与德州仪器合作；Busicom与Mostek和英特尔合作。惠普出身于仪器仪表领域，它把计算器看作客户可以用来取代计算尺的工具。

专利、元件与价格战

20世纪70年代，对元器件的控制决定了这场竞争的走向。德州仪器多年来一直是计算器逻辑芯片的供应商，后来开始自行生产计算器，并以低于其向其他厂商出售芯片的价格销售整机。这一策略迫使许多竞争对手退出市场。另一家公司康懋达（Commodore）在德州仪器把自有品牌计算器的售价降到了其向第三方出售的芯片组成本以下后，被迫退出计算器市场。德州仪器还持有一项关键专利：其实验性的“Cal-Tech”计算器使德州仪器获得了手持计算器的专利。因此，专利地位和芯片的获取渠道决定了哪些企业能够在价格上竞争。结果是，大多数专业厂商和“跟风型”制造商相继消失，市场由夏普、德州仪器、惠普、佳能和卡西欧五大品牌主导。惠普在这场洗牌中幸存下来，至今仍生产专业计算器。

智能手机出现之后的衰落

从20世纪90年代末和21世纪初开始，独立计算器逐渐失去市场，让位于多功能设备。独立计算器大多已被智能手机取代。早期的普通手机只能进行简单计算，而现代智能手机则在每个人的口袋里装进了强大的科学计算甚至绘图功能。一份市场概述显示，2024年全球电子计算器的消费量约为4.85亿台，比2023年下降了10.6%。这一数字仍然很大，但正在萎缩。

专用计算器主要在禁止使用手机和电脑的场合得以留存，尤其是教室和考场。德州仪器、卡西欧、夏普和惠普等厂商继续销售获准用于特定考试的机型，因此即使大众消费市场已经萎缩，这一小众市场仍得以维持。

教育与争议

计算器在20世纪70年代进入课堂，此后它在数学教学中的作用一直存在争议。争论的焦点往往不在设备本身，而在于学生在把任务交给机器之前，应当先会用笔算做什么。

课堂使用的支持与反对

批评者担心，过度依赖设备会削弱学生的算术熟练度。到了70年代和80年代，计算器已经成为美国数学教育中的一场重大争议，教师和家长担心学生会失去运算的熟练度，并对设备产生依赖。这一反对意见中最严重的说法认为，工具可能掩盖差距，而不是弥补差距：学生如果在理解运算之前就使用工具，其薄弱之处可能被掩盖，而非转化为真正的知识积累。

支持者则认为，计算器可以用来促进理解，而不是取代理解。在小学课堂上，目标是促进数学学习，而不是取代心算和笔算。学生可以借助设备检验数字规律，比较不同的方法和答案。因此，这场争论通常围绕使用的目的展开，而不是简单的赞成或反对。即便在支持者内部，对于小学生是否应当使用计算器也意见不一，这个问题至今仍有争议。

学习效果的研究

实证证据并不一致。有人担心计算器会妨碍基本运算的学习，而研究也表明，对于基本技能扎实的学生，计算器可以促进问题解决能力。20世纪80年代和21世纪初的几项元分析（尤其是Hembree和Dessart于1986年的研究，以及Ellington于2003年的研究）总体发现，计算的准确性并没有出现一致的下降，在问题解决能力和学习态度方面则有一定提升。不过，这些结果随年级、教学方法和计算器使用频率而有所不同，而且许多研究的时间跨度较短。因此，在现有证据中，心算能力与概念理解很难被清晰地区分开来。

各国和各个时期的政策也有所不同。在美国，抵制的声音尤为强烈；据一篇关于美国数学课堂计算器使用的学位论文称，一些州甚至在标准化考试中禁止使用计算器。在其他地区，课程改革的推进速度各不相同，因此并不存在一条适用于所有国家的统一时间线。

考试规则

高风险考试中的计算器规则由组织考试的机构制定，而非由教师行业决定。这些规则通常规定三件事：允许在哪些考试中使用计算器，允许使用哪些型号，以及必须禁用哪些功能。例如，ACT规定，计算器只允许在数学考试中使用，而且所有题目都可以在不使用计算器的情况下解答。一般允许使用四则运算、科学型和图形型计算器，但如有要求，必须对其进行相应改装。

主要限制涉及计算机代数。ACT的政策禁止使用内置或可下载计算机代数系统（CAS）功能的计算器，同时也禁止使用手持电脑、平板电脑、笔记本电脑以及内置于手机的计算功能。此类限制旨在保证考试的公平性，并防止学生借助学生无法独立完成的符号运算。SAT也遵循了类似的做法：据一本应试指导书称，从2025年8月的SAT考试开始，内置CAS功能的计算器不再允许使用。由于允许使用的清单会发生变化，每次考试前都应核对官方政策以及考试机构公布的允许型号清单。

残障学生的辅助技术

对于有学习障碍的学生，计算器通常被视为一种辅助措施，而非捷径。发育性计算障碍会影响数字与算术技能的习得，据估计约有3%至6%的学龄儿童受其影响，并且常常与注意力缺陷多动障碍（ADHD）和阅读障碍等情况同时出现。一个课堂使用框架认为，计算器可以弥补注意力、顺序安排和记忆方面的困难，因此可以与延长考试时间等其他辅助措施相提并论。

此外，也有专门设计的设备。语音计算器会朗读输入和输出的内容，有助于那些在读写数字方面有困难的学生。考试机构对这类设备单独处理：例如，ACT要求事先批准无障碍计算器，如语音型或盲文型计算器。

这些用途的证据基础较为薄弱。一篇综述的作者指出，在脑损伤后出现计算障碍的病例中，袖珍计算器只在一个病例中进行过试用，尽管在特定学习障碍的情况下，人们常常推荐使用它。因此，教师面临的困境与普通课堂相同：既要让辅助工具解放工作记忆，又必须为课程本应教授的概念留出空间。

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