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科学 / electric-dipole

电偶极子

电偶极子由分离的正负电荷构成，其矢量偶极矩决定其电场及与外场的相互作用。

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电偶极子是一种正、负电荷分布彼此分离的电荷分布。最简单的模型是两个相距有限距离、大小相等而符号相反的点电荷。虽然它们的总电荷为零，但它们产生的电场并不为零。电偶极矩描述这种电荷分离的大小和方向，并可用于近似描述许多中性电荷分布的远处电场。电偶极子在电磁学、分子物理学以及材料的电响应中都十分重要。(feynmanlectures.caltech.edu)

偶极矩与理想化模型

对于电荷 +q+q 和 −q-q，偶极矩为

p=qd,\mathbf p=q\mathbf d,

其中，d\mathbf d 从负电荷指向正电荷。偶极矩的大小为 p=qdp=qd。按照这一约定，偶极矩的方向与两电荷之间的电场方向相反，后者从正电荷指向负电荷。偶极矩的国际单位制单位是库仑米，即 C m\mathrm{C\,m}。分子偶极矩也常用德拜表示，其中 1 D≈3.33564×10−30 C m1\,\mathrm D\approx3.33564\times10^{-30}\,\mathrm{C\,m}。(old.goldbook.iupac.org)

对于多个点电荷，或电荷密度为 ρ\rho 的连续分布，分别有

p=∑iqiri,p=∫ρ(r)r d3r.\mathbf p=\sum_i q_i\mathbf r_i, \qquad \mathbf p=\int \rho(\mathbf r)\mathbf r\,d^3r.

若坐标原点平移 a\mathbf a，偶极矩就变为 p′=p−Qa\mathbf p'=\mathbf p-Q\mathbf a，其中 QQ 为总电荷。因此，中性系统的偶极矩与原点的选择无关，而带电系统的偶极矩一般会随原点的选择而改变。(iupac.org)

在数学上，保持 p\mathbf p 不变，同时令电荷间距趋于零，就得到理想点偶极子。它描述的是尺寸足够小的源在其外部呈现的主要偶极特征，而不是指两个有限大小的电荷实际上位于同一点。(farside.ph.utexas.edu)

静电势与电场

在静电学中，可根据叠加原理将两个电荷的电势相加。对于以原点为中心的偶极子，在距离 rr 远大于电荷间距的位置，真空中的电势为

V(r)=14πε0p⋅r^r2.V(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r}}{r^2}.

其中，ε0\varepsilon_0 为真空介电常数，r^\hat{\mathbf r} 为径向单位矢量。相应的电场为

E(r)=14πε0r3[3(p⋅r^)r^−p].\mathbf E(\mathbf r)= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0r^3} \left[3(\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r})\hat{\mathbf r} -\mathbf p\right].

对于点偶极子，这一电场表达式适用于原点以外的位置。这些表达式可由库仑定律和 E=−∇V\mathbf E=-\nabla V 推导得到。(farside.ph.utexas.edu)

电势按 r−2r^{-2} 衰减，电场则按 r−3r^{-3} 衰减，比单个净电荷的电场衰减得更快。在偶极轴上，电场沿 p\mathbf p 的方向；在赤道面上，电场与 p\mathbf p 方向相反，且电势为零。在多极展开中，偶极项位于单极项之后。对于偶极矩非零、分布局限于有限区域的中性电荷系统，偶极项主导足够远处的电势；如果偶极矩也为零，则由更高阶的多极项决定主要行为。(farside.ph.utexas.edu)

与外电场的相互作用

偶极矩固定的偶极子置于均匀外电场中时，会受到转矩

τ=p×E\boldsymbol{\tau}=\mathbf p\times\mathbf E

并具有随取向变化的势能

U=−p⋅E=−pEcos⁡θ.U=-\mathbf p\cdot\mathbf E=-pE\cos\theta.

转矩使偶极矩趋于沿电场方向排列。偶极矩与电场同向平行时，势能最低；反向平行时，势能最高。在均匀电场中，两电荷所受的力大小相等、方向相反，因此即使转矩不为零，合力仍为零。(old.goldbook.iupac.org)

非均匀静电场可以对偶极子施加非零合力。对于偶极矩固定的小偶极子，

F=∇(p⋅E).\mathbf F=\nabla(\mathbf p\cdot\mathbf E).

这一力取决于外电场的空间变化。对感应偶极子则需格外注意，因为其偶极矩随电场变化；仅靠固定偶极矩的势能公式，无法描述产生感应偶极矩所需做的功。(feynmanlectures.caltech.edu)

分子偶极子与电介质

当分子的正、负电荷分布中心不重合时，分子就具有永久偶极矩。水是一个常见的例子：其不对称的电荷分布产生了永久分子偶极矩。氧分子等对称分子没有永久偶极矩，但外加电场可以使其电荷分布发生畸变，从而产生感应偶极矩。(feynmanlectures.caltech.edu)

在原子中，这种畸变表现为带负电的电子分布相对于带正电的原子核发生位移。在弱电场下，感应偶极矩通常近似正比于局部电场：

pind=αE,\mathbf p_{\mathrm{ind}}=\alpha\mathbf E,

其中，α\alpha 是按这一约定定义的电极化率。另一些约定则将 ε0\varepsilon_0 单独作为因子提出。永久偶极矩也可以在一定程度上沿电场取向排列，但热运动会阻碍这种排列，因此其取向程度取决于温度。(feynmanlectures.caltech.edu)

电介质的电极化强度 P\mathbf P 是其单位体积内的偶极矩。在线性各向同性材料中，P=ε0χeE\mathbf P=\varepsilon_0\chi_e\mathbf E，其中 χe\chi_e 为电极化系数。极化强度的空间变化及其边界会产生束缚电荷，从而将微观偶极子与材料中的宏观电场联系起来。(feynmanlectures.caltech.edu)

辐射与量子跃迁

随时间变化的偶极子可以发射电磁辐射。对于尺寸远小于波长、局限于有限区域并按正弦规律振荡的偶极子，辐射在垂直于偶极轴的方向上最强，而沿轴方向为零。其远区电场按 r−1r^{-1} 衰减，与静态偶极电场按 r−3r^{-3} 衰减的规律不同。(farside.ph.utexas.edu)

在量子力学中，电偶极跃迁取决于跃迁偶极矩

pfi=⟨f∣p^∣i⟩.\mathbf p_{fi}=\langle f|\hat{\mathbf p}|i\rangle.

它不同于某一量子态的永久偶极矩。如果跃迁偶极矩为零，该跃迁在电偶极近似下就是禁戒的，由此得到对光谱学十分重要的选择定则。这类跃迁仍可能通过较弱的磁偶极、电四极或其他过程发生。(farside.ph.utexas.edu)