原函数 · aiwiki.page

函数 $f$ 的原函数是指导数等于 $f$ 的函数 $F$ 。原函数也称为反导函数，其作用是逆转求导过程：给定一个变化率，求出具有这一变化率的函数。原函数是微积分的核心概念，也是计算定积分的重要工具。(math.mit.edu)

定义与记号

设实值函数 $f$ 定义在开区间 $I$ 上。如果可微函数 $F:I\to\mathbb{R}$ 满足

F'(x)=f(x)\qquad\text{对每个 }x\in I,

则称 $F$ 为 $f$ 的一个原函数。例如， $F(x)=x^3/3$ 是 $f(x)=x^2$ 的一个原函数，因为对 $x^3/3$ 求导可得 $x^2$ 。求原函数的过程称为反微分。(openstax.org)

记号

\int f(x)\,dx=F(x)+C

表示不定积分，通常用来表示某一区间上的全体原函数。其中， $C$ 是任意常数，称为积分常数。一个具体的原函数是这一函数族中的一个成员；不定积分描述的是整个函数族，而不是单个数值。(math.mit.edu)

求原函数与求反函数并不相同。反函数逆转的是函数从输入到输出的映射，而原函数逆转的是求导运算。(math.mit.edu)

唯一性与积分常数

如果 $F$ 是 $f$ 的一个原函数，那么 $F+C$ 也是它的原函数，因为常数的导数为零。反过来，如果 $F$ 和 $G$ 是同一函数在某一区间上的原函数，那么

(F-G)'=0.

由中值定理可知， $F-G$ 为常数。因此，该区间上的每个原函数都具有 $F+C$ 的形式。从几何上看，这些函数的图像仅相差一个竖直方向的平移。(math.mit.edu)

区间这一条件至关重要。在函数的定义域 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 的两个区间上分别应用上述唯一性结论，可知 $1/x$ 的所有原函数都具有如下形式：

F(x)= \begin{cases} \ln|x|+C_-,&x<0,\\ \ln|x|+C_+,&x>0, \end{cases}

其中 $C_-$ 与 $C_+$ 不必相等。求导并不会对定义域中互不连通的各部分上的常数施加任何相互约束。(math.mit.edu)

在区间上，给定函数在某一点的值，就能唯一确定积分常数。例如，

F'(x)=2x,\qquad F(1)=5

给出 $F(x)=x^2+4$ 。这是一个简单的微分方程初值问题。(openstax.org)

与定积分的联系

微积分基本定理将原函数与累积量联系起来。如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，那么

A(x)=\int_a^x f(t)\,dt

在 $a<x<b$ 时满足 $A'(x)=f(x)$ 。因此，区间上的每个连续函数都有原函数。(openstax.org)

该定理还指出，对于连续函数 $f$ 及其任意一个原函数 $F$ ，有

\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).

例如，

\int_0^2 x^2\,dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 =\frac83.

计算端点处函数值之差时，任意常数会相互抵消。(openstax.org)

两者的区别仍然十分重要：原函数由一个导数方程定义，而定积分则通过累积过程定义，例如定义为黎曼和的极限。该定理在适当条件下，将这两个独立定义的概念联系起来。十七世纪末至十八世纪初，艾萨克·牛顿、戈特弗里德·威廉·莱布尼茨等人发展了它们之间的关系。(openstax.org)

存在性与不连续性

连续性是原函数存在的充分条件，但不是必要条件。导数本身也可能不连续。不过，达布定理指出，每个导数都具有介值性质：在任意两个导数值之间，它都能取到所有中间值。不具备这一性质的函数，在相应区间上不可能有原函数。(mathweb.ucsd.edu)

例如，考虑函数

f(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\ 1,&x\geq0. \end{cases}

在以零为内点的区间上，该函数能取到 $0$ 和 $1$ ，却从不取到 $1/2$ 。因此，由达布定理可知，它在该区间上没有原函数。然而，这个函数在每个有界区间上都是黎曼可积的。它的累积积分函数在零点处有一个折角，因而在该点不存在导数。这说明，仅有可积性并不能保证存在一个处处满足经典导数定义的原函数。(mathweb.ucsd.edu)

基本公式与方法

将熟悉的求导法则逆向运用，即可得到一些基本的原函数公式：

\begin{aligned} \int x^p\,dx&=\frac{x^{p+1}}{p+1}+C && (p\ne-1),\\ \int \frac1x\,dx&=\ln|x|+C && (x\ne0),\\ \int e^x\,dx&=e^x+C,\\ \int \cos x\,dx&=\sin x+C,\\ \int \sin x\,dx&=-\cos x+C. \end{aligned}

对于任意实数 $p$ ，幂函数的积分公式在 $x>0$ 时成立；在其他定义域上使用时，则要求 $x^p$ 有适当的定义且可微。求原函数也遵循加法与常数倍法则，因此可以对多项式逐项积分。(math.mit.edu)

换元积分法是链式法则的逆向运用。如果 $F'=f$ ，则

\int f(g(x))g'(x)\,dx=F(g(x))+C.

例如，令 $u=x^2$ ，可得

\int 2x\cos(x^2)\,dx=\sin(x^2)+C.

因子 $2x$ 是内层函数的导数，不可缺少。(openstax.org)

分部积分法是乘积求导法则的逆向运用：

\int u(x)v'(x)\,dx =u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx.

它可以将一个积分转化为更简单的积分。例如，取 $u=x$ 、 $v'=e^x$ ，可得

\int xe^x\,dx=(x-1)e^x+C.

任何求出的原函数都可以直接通过求导来检验。(openstax.org)

非初等原函数

一个函数有原函数，并不意味着它有能用初等函数表示的原函数。初等函数是由代数函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数通过有限次组合构成的表达式。有些简单的被积函数并没有初等原函数。这是数学上的限制，而不只是因为没有找到有效的换元方法。(math.mit.edu)

一个典型的例子是 $e^{-x^2}$ 。由于它连续，其原函数存在，但这些原函数都是非初等的。损失函数定义为

\operatorname{erf}(x) =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt,

因此

\int e^{-x^2}\,dx =\frac{\sqrt{\pi}}2\operatorname{erf}(x)+C.

所以，即使无法用初等函数的记号表达原函数，也可以通过积分表示式精确地定义它。(math.mit.edu)

应用

原函数可以根据变化率还原相应的量。在一维运动中，对速度积分得到位置，对加速度积分得到速度。初始位置和初始速度用于确定求导无法确定的常数。当加速度 $a$ 为常数时，

v(t)=v_0+at,\qquad s(t)=s_0+v_0t+\frac12at^2.

这些方程既说明了如何根据导数还原函数，也表明了初始数据的必要性。(openstax.org)

更一般地，连续变化率 $r(t)$ 的原函数决定了净变化量：

Q(t_2)-Q(t_1) =\int_{t_1}^{t_2}r(t)\,dt.

累积变化量由变化率确定，但要确定 $Q$ 本身的数值，还需要一个额外的参考值。(openstax.org)

参考来源

1 The Anti-derivativemath.mit.edu
10 Antiderivatives - Calculus Volume 1 | OpenStaxopenstax.org
Chapter 11: The Antiderivative or Indefinite Integralmath.mit.edu
3 Uniqueness of Antiderivativesmath.mit.edu
3 The Fundamental Theorem of Calculus - Calculus Volume 1 | OpenStaxopenstax.org
Intermediate-value theorem for derivatives (Darboux’s Thm)mathweb.ucsd.edu
5 Substitution - Calculus Volume 2 | OpenStaxopenstax.org
1 Integration by Parts - Calculus Volume 2 | OpenStaxopenstax.org
5 Unintegrable Functionsmath.mit.edu
DLMF: §7.2 Definitionsdlmf.nist.gov