彩虹

彩虹是天空中出现的一道多色弧形光带。当阳光射入空中的水滴，发生折射和色散，并被反射回观察者的方向时，就会形成彩虹。彩虹出现在与太阳相对的方向，最常见于阳光照射到的天空部分正在下雨的时候。由于彩虹的形状取决于观察者的视线方向，每位观察者看到的都是属于自己的彩虹，它并没有固定的物理位置。这一现象是可见光被分解为各种颜色的常见例子，其遵循的规律与玻璃棱镜所遵循的斯涅尔定律相同。

彩虹在科学上的重要性在于，它曾检验并推动了光学理论的发展。亚里士多德的后继者和勒内·笛卡尔最初利用几何光线追迹来解释彩虹；艾萨克·牛顿则借助彩虹论证白光是由多种颜色混合而成的；此后，波动光学和散射理论解释了光线追迹无法说明的额外弱光带。彩虹也是许多文化中长期存在的主题，在艺术、文学以及宗教的象征体系中都有重要地位。

本词条首先介绍彩虹的几何形态和外观，然后讲解主虹与副虹的光学原理、产生多余彩虹带的波动效应，以及雾虹和月虹等相关变体。随后，词条讨论彩虹包含多少种颜色的问题，回顾其解释原理的历史，并介绍彩虹的文化与象征意义，以及它在测量和光学研究中的应用。

外观与几何

从地面观看，彩虹是一个以反太阳点为中心的光环的可见上半部分。反太阳点是观察者视线中与太阳正相对的天空位置。主虹出现在距反太阳点约40°至42°之间，其角半径通常取约42°。它的颜色顺序是固定的：红色位于虹弧的外侧，离太阳最近；蓝色位于内侧。因此，太阳的位置决定了虹弧的弯曲方向，而观察者头部的影子则标志着圆的中心。

彩虹在景物中没有固定的位置。弧线的中心始终位于从太阳到观察者眼睛的连线上。只有位于以该连线为轴、半顶角为42°的圆锥面上的水滴，才会把集中的光线送到特定观察者的眼中。这些水滴可以位于任意距离处，但必须落在42°的圆周上。因此，两个并排站立的人看到的是由不同水滴形成的两道不同弧线，而移动几米就会使彩虹在天空中发生位移。正因如此，彩虹更应被理解为一种与观察者相关的几何构形，而不是像云或建筑那样的实体物体。

能否看到完整的圆环，取决于观察者所处的高度。在地面上，圆环的下半部分被地表遮挡，因此只能看到上方的弧线。登山者和飞行员有时能看到接近完整或完整的圆环，因为观察者必须位于可见地平线以上，圆环的底部才不会被遮挡。在飞机上情况则有所不同：雨或雾既存在于飞机上方，也存在于下方，因此从飞机上有可能看到整个彩虹圆环，因为你的上方和下方都可能有正在下落的水滴。例如，2023年2月，一个直升机机组人员在考艾岛的威美亚峡谷上空拍摄到了一个完整的圆环。要形成完整的圆环，还需要有足够多的悬浮水滴构成连续的背景；飞行时，如果雾气足够浓，就可能看到完整的圆形彩虹。

主虹内侧的天空比外侧更亮。并不恰好位于偏向角上的水滴所发出的光仍会增加整体照度，因此42°圆内的区域会接收到额外的散射光。除最小偏向角光线以外，所有其他光线都只是在这个半径为42°的圆内增加整体亮度。因此，主虹内侧的天空比外侧更亮。当彩虹处于暗色背景之前时，这种对比最为明显。

彩虹本身的亮度并不均匀。从内侧接近虹弧边界时，其强度急剧上升，因此色带中最明亮的部分通常是靠近内侧的那一部分，不过具体的亮度分布取决于水滴大小和光的波长。主虹通常是所有彩虹中最亮的。主虹通常也比其他任何彩虹都亮。当水滴非常小时，它的颜色也会变淡，这一点将在关于水滴光学和雾虹的小节中进一步说明。

水滴中的折射、色散与内反射

自由下落的雨滴接近球形，其作用类似一个小透镜。阳光照射到水滴上时，先穿过空气与水的界面，并依据斯涅尔定律发生折射：$\sin i = n \sin r$，其中 $i$ 为入射角，$r$ 为光在水中的折射角，$n$ 为折射率。对可见光而言，水的折射率约为 1.33。由于 $n$ 随波长略有变化，红、橙、黄、绿、蓝、紫各色光的偏折程度也略有不同。因此，光束在第一个界面处就被展开成一扇彩色光带。物理学家把这种随波长变化而产生的分散现象称为色散。

光并不是简单地穿过水滴。到达水滴另一侧时，一部分光束被反射回水中，其余部分则离开水滴。这种反射发生在水与空气的界面本身，而不像普通镜子那样依赖金属镀层。反射后的光到达前表面，再次进入空气，并发生第二次折射，使各色光的分离进一步加大。对于一次内反射，光线的总偏转角可以写作 $D = \pi + 2i - 4r$，其中 $i$ 与 $r$ 通过斯涅尔定律相互关联。因此，每条光线都会按照其在水滴中进入的位置距离中心的远近，产生一个确定的偏转量。

这一关系式的关键特征在于 $D$ 并非单调变化。靠近水滴轴线入射的光线几乎被转过 180°。随着入射点向外移动，偏转角逐渐减小，对黄光而言减小到约 138° 的最小值，之后又重新增大。由于观察者的视线是从反太阳点开始度量的，因此可见角度为 $180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$。接近这一最小偏转角的光线会聚集在一起。在 138° 附近的狭窄角度区间内，出射光比同样宽度的其他任何区间都更多，因此彩虹在这里最亮。从光学意义上说，这种光线的聚集称为焦散，它与一杯茶在其自身表面投下的明亮弯曲图案相似。

颜色的排列顺序同样由这一几何关系决定。红光的折射率最小，偏折最少，其最小偏转角最接近 138°，因此出射方向大约位于反太阳点的 42° 处。紫光偏折最多，最小偏转角约为 140°，对应的位置大约在 40°。于是，红色位于主虹的外缘，紫色位于内缘，其余颜色则介于两者之间。红光与紫光之间的角度差仅约 2°，这就是为什么尽管颜色顺序清晰可辨，整条彩虹却只占据天空中一条狭窄的带状区域。

次级彩虹、高阶彩虹与颜色顺序的反转

次级彩虹

次级彩虹来自在水滴内部经过两次反射后才射出的光线。额外的一次内反射使出射光线进一步向外偏转，因此这条彩虹位于距反日点约 51° 处，在主彩虹之外，比主彩虹大约远九度。各文献给出的数值略有差异：一种来源给出的范围是 50–53 度，而且具体数值取决于波长。在某一计算中，蓝色边缘位于半径 53° 处，红色边缘位于 50°。第二条光路也暗得多。光线每次抵达水—空气界面时都会有部分逸出，因此能沿双次反射路径继续传播的光就少了，这条彩虹通常比主彩虹暗淡得多。

颜色顺序的反转

颜色顺序之所以颠倒，是因为次级光路上的总角偏转更大。次级彩虹的最小偏向角约为 230°，超过了 180°，即会使光线沿原路返回光源的角度。一旦总偏转角超过这一阈值，颜色顺序便会反转：折射最弱的红光位于内缘，紫光位于外缘。这与主彩虹正好相反，主彩虹的红光在外缘，紫光在内缘。其机制与主彩虹相同，都依靠全反射和折射，只是光线在同类水滴中走了更长的路径。

亚历山大暗带

两道弧之间没有被照亮的区域称为亚历山大暗带。它之所以存在，是因为来自主彩虹光路的散射光在约 42° 处即告终止，而来自次级彩虹光路的光在约 51° 以内不会向内延伸。水滴在这两个角度之间的区域没有提供任何光线，因此与主彩虹内侧和次级彩虹外侧较亮的天空相比，这里显得较暗。该暗带以亚弗洛狄西亚的亚历山大命名，他是公元 2 世纪的哲学家，最早对其作出描述，不过有时也将其年代记为约公元 200 年。

高阶彩虹

每增加一次内反射，就定义出一个更高的阶次。主彩虹（一阶）只有一次反射，次级彩虹（二阶）有两次反射，三阶彩虹则在水滴内有三次反射。理论上，这一序列可以无限延续，高阶彩虹的阶次在理论上可达无穷。但实际上，每次反射都会造成损失，因此这些彩虹越来越难以探测，阶次越高就越暗淡，其颜色也会分散到天空中越来越大的区域。

第三阶和第四阶彩虹位于天空中太阳所在的一侧，因此特别难以观测，它们与太阳位于同一侧，被太阳的强光遮蔽。第五阶和第六阶彩虹则隐藏在亮得多的主彩虹之中。第四阶以上的彩虹通常肉眼不可见，不过普通相机已经能够在单张照片中拍到第三阶和第四阶彩虹，而使用强单色光源的实验装置则探测到了更高的阶次，实验室中曾记录到第 200 阶的彩虹。

波动效应与副虹

基于射线的几何光学预测，主虹的颜色会平滑地过渡到天空中，其内部不存在任何结构。然而，真实的主虹内侧常常可以看到一组淡雅的粉彩色弧线，它们之间被狭窄的暗带隔开。这些弧线称为副虹。仅凭折射和色散无法解释它们，它们依赖于光的波动性质。

水滴内部的干涉

其成因是干涉。以略有不同的距离偏离水滴轴线的光线，离开水滴时的角度几乎相同，但它们在水中经过的路径长度略有差异。当路径差为波长的整数倍时，波相互加强；当路径差为半波长的奇数倍时，波相互抵消。因此，散射光的强度随角度呈周期性变化，形成明暗相间的条纹，其中亮的极大值便构成了副虹弧线。由于路径差取决于水滴半径，每条弧线的角位置也随之变化。较大的水滴使弧线间距较窄，较小的水滴则使间距较宽；直径超过约1毫米的水滴中，弧线很少能被分辨出来。

这些条纹非常脆弱。如果水滴大小不一，不同水滴产生的极大值会落在略有不同的角度上，从而相互模糊；色散光的颜色重叠也会进一步冲淡图样。因此，清晰的副虹需要大小几乎一致的小水滴。这也有助于解释为什么弧线通常在彩虹顶部最为明显：正如一项分析所指出的，与彩虹的其他位置相比，那里的雨滴大小往往更为均匀。

从杨到艾里

托马斯·杨是最早将这些弧线与干涉联系起来的人。1803年，他提出弧线之间的暗隔是由从水滴中沿同一方向射出的两束光线发生相消干涉所致。然而，他这个简单的双光线模型在主虹处预测出了不符合物理的无限强度，而且其对副虹位置的预测在各方面并不都准确。

乔治·艾里的理论发表于19世纪30年代（一种文献记为1836年，另一种记为1838年），取代了这一图景。艾里没有只考虑两束光线，而是对入射波前上所有点、向各个方向传播的贡献进行了求和。这一方法得出了焦散线边缘处有限的强度，给出了一个与几何光学预测不重合的极大值，并且副虹的位置能够正确地依赖于水滴半径。不过，艾里理论有一个局限：入射波前上的振幅分布必须作为假设给出，而无法推导得出。后来的工作将这一方法推广到偏振光以及更高阶的虹。

米氏理论与精确解

古斯塔夫·米1908年的工作给出了麦克斯韦方程组在均匀球体光散射问题上的严格解，这是对水滴的完整电磁描述。米氏理论再现了彩虹的完整强度分布，包括艾里近似只能部分捕捉到的特征。其缺点在于，它很难直观地揭示哪些光线路径导致了某一特定特征，而且在计算机出现之前，其计算十分繁琐。比较表明，对于直径约1毫米的水滴，艾里近似与米氏理论高度吻合，包括副虹极大值的位置和强度；对于直径约0.1毫米的水滴，两者也仍然相当接近。而对于更小的水滴，由于弧线严重重叠，艾里理论的可靠性会下降。

变体：雾虹、月虹及其他彩虹形式

雾虹常被称为白虹，它形成于雾或薄雾中，而不是雨中。它是出现在雾中而非雨中的虹。相关水滴远小于雨滴，直径通常不到0.05毫米。在这一尺度下，光线绕过水滴的弯折作用超过穿过水滴的折射作用，因此颜色相互模糊，而不会被分散开。英国气象局将此归因于衍射取代折射成为主导效应。结果是一道非常微弱的虹，外缘泛红、内缘偏蓝，而且在很多情况下几乎完全呈白色。有记录的最早观测可追溯到1737年8月至1739年7月之间，地点在今天的厄瓜多尔，由安东尼奥·德·乌略亚（Antonio de Ulloa）报告。关于雾虹的更多细节见相应条目。

月虹是由月光形成的同类虹。除光源不同外，其形成机制与太阳彩虹相同：光线被水滴折射和反射，弧线位于天空中与月球相对的方向。难点在于亮度。由于月球表面反射的光量较少，月虹远比太阳彩虹暗淡。据估计，月光通常比阳光约暗40万倍。由于光线极其微弱，人眼很难分辨月虹中的颜色。低光照下的视觉依赖视杆细胞，而视杆细胞不携带颜色信息，因此观察者通常只看到淡白色或灰色的弧线。长时间曝光摄影能让相机传感器持续累积光线，从而显现出月虹中隐藏的鲜艳色彩。观测条件也很苛刻：月球必须接近满月，位置较低，最好在地平线以上42度以内，而且周围环境必须黑暗。

反射虹是另一种现象，很容易与双彩虹混淆。它并不是主虹的镜像。相反，光线穿过雨滴后在水面反射，然后向上传播，从而形成指向天空的弧线。水面通常是湖泊或海湾，这种现象曾在海湾上空被拍摄到，光线在水面反弹后再次穿过水滴。

与此相对，真正的双彩虹由一道主虹和位于其外侧、较为暗淡的副虹组成。当部分光线在雨滴内经历两次内反射时，就会在主虹外侧形成副虹。因此，这一说法并不指两道同时可见的主虹。副虹颜色顺序反转的问题，将在关于高阶虹的小节中讨论。

这三种变体共享相同的基本水滴光学原理，但在物理机制上并不完全相同。雾虹比普通彩虹更依赖衍射这一波动效应；月虹则与太阳彩虹依赖相同的几何折射，只是受限于光照强度和人眼视觉。因此，水滴尺寸、光照条件和观察几何关系的变化，决定了每种情况下哪种效应占主导。

颜色感知与颜色数量

彩虹中的光在电磁波谱上形成连续的渐变。波长彼此逐渐过渡，一种色调在哪里结束、下一种色调从哪里开始，并没有物理上的分界。因此，人们看到的清晰色带在很大程度上是观察者对所见之物进行分类的结果，而不是光本身的特征。人们熟悉的颜色数量主要来自一个历史性的选择，也来自人类的感知和语言把连续的色调范围划分为有名称的类别的方式。

标准的七色之说可追溯到艾萨克·牛顿。大约在1665年，他让白光穿过棱镜，辨认出七种组成颜色（红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫）。这并不一定是因为他看到的色调恰好有七种，而是因为他认为彩虹的颜色与音阶的音符相对应。关于他的计数是如何形成的，不同的说法有所出入。一种说法认为，在他早期的实验中，他只记录了五种颜色：红、黄、绿、蓝、紫，橙色和靛色是在之后反复实验中才加上的。然而，牛顿本人在《光学》中承认光谱是连续的，而被命名的颜色只是光谱中的主要节点。音乐类比并没有测量上的依据，科学史学家已多次指出这一点，但七色之说仍在教科书和大众读物中广泛流传，至今仍被普遍使用。

不同语言划分颜色空间的方式也各不相同。1969年，认知研究者布伦特·伯林（Brent Berlin）和保罗·凯（Paul Kay）考察了20种语言中的基本色彩词，他们的研究表明，各语言的基本色彩词数量是有限的，并提出了最多11个基本色彩词的上限。实际语言在这一范围内差异很大。例如，俄语强制区分两种蓝色：较浅的蓝色（"goluboy"）和较深的蓝色（"siniy"），而英语只使用一个基本词。对偏远社群的估计也存在分歧。2004年的测试发现，纳米比亚的辛巴人（Himba）使用一种含有5个颜色词的语言，也就是说，在颜色空间的绿色和蓝色区域使用同一个词；但后来一项使用更广泛颜色样本的研究认为，辛巴人现在有七个词，或者更确切地说七个类别，且彼此独立于其他颜色词。

彩虹中清晰的色带还反映了一种称为范畴性知觉的感知效应。在这种效应下，同一类别内的色调看起来比其感知距离所预测的更为相似。针对俄语和英语使用者的实验可以说明这一点。在温纳（Winawer）及其同事2007年的研究中，俄语使用者在反应时任务中区分浅蓝色和蓝色的速度快于英语使用者，但当他们同时需要完成一项言语任务时，这一优势便消失了。这表明，语言的主动使用会影响快速辨别。之后的研究使图景变得更为复杂。2020年的一项研究发现，俄语的边界比英语的更为清晰，但它也受到频率和顺序偏差的影响，这表明"俄语蓝色"的结构性远不如此前所认为的那样好。

围绕这些效应的争论，将彩虹颜色的问题与认知科学和神经科学中更广泛的问题联系在一起。颜色视觉始于视网膜中的三类视锥细胞，它们的信号在到达大脑之前会在视觉系统中被组合与比较，并在大脑中被解释为色调。关于文化、语言和注意力如何改变这一加工过程的研究，通常归在语言相对论的标题下，目前仍在进行中。共识是：彩虹的七色是对连续物理光谱的一种方便且受文化塑造的描述，而不是光本身固有的属性。

解释的历史

对彩虹的解释可以追溯到古代，但几个世纪以来，人们都把彩虹当作云的特征，而非单个水滴的特征。亚里士多德是第一个完整阐述这一现象的人，并将其归入物理学的论题之中。在《气象学》中，他把彩虹描述为阳光从围绕观察者呈半球形分布的云层上反射而来的光。他识别出三种颜色，并认为副虹是主虹的重复，颜色顺序相反且较为暗淡。后来的观察者发现这一模型并不令人满意。伊本·西那（阿维森纳）指出，即使没有深色云层充当镜子，彩虹依然会出现，这表明真正的来源是水滴。

十四世纪初，两位学者各自独立地得出了正确的定性解释。弗赖贝格的狄奥多里克（约1250年至约1310年）约在1304至1311年间撰写了《论虹》，他提出，一个水球可以充当放大的雨滴，而不是微型的云。他用玻璃球、水晶和镜子对此进行了检验。在波斯工作的卡迈勒丁·法里西（约1267年至1319年）在其《光学精义》（Tanqih al-manazir）中得出了类似结论。他用装满水的透明球体和暗箱来追踪光路，并提出阳光在水滴中经历两次折射，且在其间发生一次或多次内反射。两人都以伊本·海赛姆的光学理论为基础。他们的模型解释了各道虹的顺序和其中涉及的反射，但无法解释为什么光会集中在某一特定角度，因此彩虹那条明亮的带状结构仍无法得到说明。

笛卡尔补上了这一缺失的几何推导。在附于《方法论》（1637年）之后的《气象学》中，勒内·笛卡尔利用折射和反射追踪光线穿过球形水滴的路径，并计算出光线射出的角度。他用充水的玻璃球检验了这一模型。科学史学者将此视为计算理论物理学的早期范例之一。不过，笛卡尔仍无法解释颜色的成因，因为他把光看作均匀的物质，没有说明不同色调为何会分离。艾萨克·牛顿在17世纪60年代至70年代通过棱镜实验解决了这一问题，表明白色阳光是由多种颜色混合而成，而这些颜色的折射程度各不相同。随后，他把水的色散纳入笛卡尔的理论，从而对各道虹的位置和颜色顺序给出了定量的解释。他于1704年在《光学》中发表了这些成果。

十九和二十世纪加入了波动的图景。托马斯·杨通过干涉解释了主虹内部的微弱条纹；乔治·艾里随后发展出一套波动理论，说明了彩虹的亮度分布，以及其相对于几何角度的微小偏移。古斯塔夫·米ie于1908年给出了球体电磁散射问题的精确解，提供了完整再现彩虹实测强度的理论框架。这些理论共同将解释从水滴中的几何光线推进到完整的物理描述，将彩虹与折射、干涉和散射联系起来。

神话、宗教与艺术

许多文化都把彩虹视为连接人类世界与神圣世界的纽带。在希腊神话中，彩虹的人格化身伊里斯是众神的使者。赫西奥德的《神谱》称她是陶马斯与厄勒克特拉的女儿。人们想象她在奥林匹斯山与凡人世界之间疾速往来。在北欧传统中，彩虹桥比夫罗斯特连接着人类居住的中庭与众神的居所阿斯加德。《散文埃达》描述这座桥由神明海姆达尔守护，人们常把它描绘成一道色彩绚丽的光带。

在亚伯拉罕诸宗教中，彩虹与《创世记》中的大洪水故事联系最为紧密。《创世记》第9章记载，上帝在云中设下弓形之物，作为与诺亚以及一切有血气的活物立约的记号，承诺大地不会再因洪水而毁灭。希伯来语词 qeshet 也有“弓”和“武器”的意思，一些注释者因此把彩虹理解为上帝挂起并放下的弓。犹太教和基督教的神学著述数百年来不断回到这段经文，把彩虹当作神的应许与慈悲的标志。立约的主题是这一叙事所特有的，在每一个亚伯拉罕传统中，它的地位并不同样核心。

在东亚，彩虹既见于官方记载，也见于文学作品。中国历代正史在《天文志》《五行志》一类讨论灾异的篇章中，把彩虹归入天象，认为异常的彩虹可能预示朝廷失序或自然秩序受到扰乱。另一些记载则把吉祥的彩虹视为君主德行的反映。汉字“虹”从“虫”，反映了民间较早的观念，即把彩虹看作一种像蛇一样的生物，在天空或大地上吸水。在日本，彩虹见于朝廷日记，也常在和歌中被描写，多作为引人注目、转瞬即逝的景象，寄托着季节感或情感。

在欧洲的绘画与文学中，彩虹成为希望、短暂与神圣秩序的象征。十七世纪的荷兰风景画家，包括雅各布·范·鲁伊斯达尔，常把彩虹画在暴风雨的天空与开阔的原野之上，借此加强黑暗与光明之间的对比。浪漫主义诗人则把这一意象视为奇迹与孩童惊叹之心的象征，威廉·华兹华斯的《我的心跳跃》便是其中最著名的例子之一。二十世纪，彩虹逐渐成为广为人知的团结与多样性标志。吉尔伯特·贝克为1978年旧金山骄傲节设计的彩虹旗，便是一个自然意象被赋予新的社会意义的例子。彩虹还经常出现在科学传播、教科书插图和广告中，它在这些场合所带有的，更多是乐观与色彩的联想，而非某种特定的教义。

测量与应用光学

虹的几何形状蕴含着产生它的液滴的定量信息。一级虹的位置同时取决于液滴的折射率和直径，因此测量虹出现的位置及其强度分布，就可以得到这两个量。这一原理是彩虹折射测量法的基础，它是一类针对透明球形液滴的光散射技术。典型的装置中，激光束穿过喷雾，探测器（通常是CCD阵列）记录散射光的角强度分布。将测得的分布与理论模型（通常用洛伦兹-米氏理论计算）进行拟合，即可求出液滴的折射率和尺寸。虹内部的细微条纹还能提供直径信息，其相位移动可以探测到液滴尺寸仅几纳米的变化。

由于液体的折射率随温度变化，同样的测量还可以用作温度计。对下落液滴喷雾的研究表明，虹的角位置可以换算为液滴温度。法国核安全研究所（IRSN）在其TOSQAN装置中采用了这一方法，研究喷雾与周围气体之间的传热和传质，其场景代表严重的反应堆事故。在整体变体中，使用的是一整群液滴形成的虹而非单个液滴，该技术已应用于液氮、液氧和甲烷的低温喷雾。对于这些喷雾，由信号推断出的温度在80至110 K范围内与热电偶读数的偏差约在7.5%以内。由于折射率还取决于成分，原则上同一方法也能检测混合比的变化，这一能力已在二元混合物和湍流喷雾火焰中进行过探索。

实际应用受信号质量限制。浓密的喷雾、特殊的折射率以及较长的工作距离，常常使完整的虹无法被记录，因此研究人员开发了适用于部分虹的方法。一种远距离系统结合了多束交叉光线的信号，通过合成孔径实现，报告称对于在1.65 m处测量的单分散液滴流，折射率的不确定度约为 $8\times10^{-4}$，尺寸的不确定度约为3 µm。推广到平面和三维布置后，不仅可以表征液滴，还能确定其位置。对于胶体悬浮液和乳液，虹的振幅可用于估算分散夹杂物的浓度，因为这些夹杂物会衰减形成虹的光线。

彩虹理论还应用于直接测量之外。在教学实验室中，用激光或灯光照射玻璃球和水滴，可以重现一级虹和二级虹，使学生能够将观测角度与计算值进行比较。在计算光学中，彩虹是一个严格的基准：若某程序能在一定液滴尺寸范围内重现虹的角度、宽度和强度结构，通常就被认为正确处理了散射问题。此类程序随后被用于大气气溶胶、燃料喷雾和工业喷雾系统，而这些场景中的液滴尺寸分布和折射率可能只是大致已知。

大气条件与出现概率

彩虹需要来自观察者身后的阳光，以及观察者所面对的那部分天空中悬浮的水滴。水滴必须足够大，才能有效地折射和反射光线，因此人们最常在云层降雨、而太阳仍照亮雨滴时看到彩虹。典型情形是半晴的阵雨：云层挡住了观察者一侧的太阳，而太阳从观察者身后穿过云隙，照亮下落的雨滴。花园喷水器、喷泉、瀑布和海浪飞沫也能产生同样的效果，因为真正的条件只是水滴，而不是天气本身。

太阳的高度决定了地面上能否看到彩虹。主虹的顶点位于反太阳点上方约42°处，因此当太阳高度 $h_\odot$ 低于42°时，顶点大约位于地平线上方 $42^\circ - h_\odot$ 处。当 $h_\odot$ 超过约42°时，整道彩虹都位于地平线以下，无法从地面看到。这就是为什么在许多地方，彩虹最常出现在清晨和傍晚：此时太阳较低，更多的弧线位于地平线以上。不过，正午也并非不可能出现彩虹。在北纬50°、十二月至极日附近，正午太阳仅高出地平线约17°，因此顶点约在25°处的彩虹可能在冬季正午前后出现。

观察者的高度也会改变所能看到的景象。在地面上，圆弧的下半部分被地形遮挡，因为射向它的光线在到达任何水滴之前就已碰到地面。从山顶或飞机上看，这些向下的光线可以越过地面、抵达下落的雨滴，因此能看到的圆周部分更多。同样的几何关系意味着，太阳的高度与观察者的海拔共同决定了可见的完整圆周比例，海拔越低的观察者看到的部分越少。

彩虹的出现取决于气候和季节。彩虹需要频繁的阵雨与阳光同时出现，因此多见于有对流性午后雷阵雨的地区和季节，在这些地方，阵雨可能在天空另一侧仍有阳光照射时经过。持续的阴云或绵绵细雨若始终不散，则会阻碍彩虹出现；在干燥地区，水滴稀少，彩虹也因此罕见。降雨量、湿度以及太阳角度的季节性变化，都会改变某地看到彩虹的可能性。在热带地区，太阳在一天中大部分时间位置较高，彩虹主要出现在清晨和傍晚；而在高纬度地区，冬季低垂的太阳延长了可以形成彩虹的时段。由于彩虹始终以反太阳点为中心，移动位置的观察者会改变彩虹在视野中的位置，因此同一时刻在某一地点看到的彩虹，在附近的另一地点未必能看到。

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