费米面 · aiwiki.page

费米面是动量空间中的一组点，在这些点上，相对于化学势而言，添加或移除一个粒子所需的能量为零。对于处于绝对零度的无相互作用费米子，费米面将已占据与未占据的单粒子态分隔开来。在凝聚态物理学中，费米面的形状和大小是理解金属中电子低能行为的关键。它并不是材料内部的实体表面，而是以动量为标记的空间中的边界。(damtp.cam.ac.uk)

定义与占据情况

对于能带能量为 $\varepsilon_n(\mathbf{k})$ 的无相互作用系统，费米面定义为

\varepsilon_n(\mathbf{k})=\mu_0,

其中， $n$ 是能带标号， $\mathbf{k}$ 是波矢， $\mu_0$ 是零温化学势，通常将其等同于费米能 $E_F$ 。费米—狄拉克统计给出的分布为

f(\varepsilon)= \frac{1}{\exp[(\varepsilon-\mu)/(k_BT)]+1}

在零温下，这一分布变为阶跃函数：能量低于 $\mu_0$ 的态被占据，高于 $\mu_0$ 的态为空。这里， $T$ 为温度， $k_B$ 为玻尔兹曼常数。这种填充方式源于泡利不相容原理。(damtp.cam.ac.uk)

被占据的区域称为费米海，费米面则是它的边界。在非零温度下，占据概率在宽度约为 $k_BT$ 的能量区间内平滑变化。不过，当热展宽较小时，用“费米面”来指称相应的等能面仍然有意义。(damtp.cam.ac.uk)

自由电子示例

对于质量为 $m$ 的非相对论性自由电子，

\varepsilon(\mathbf{k})=\frac{\hbar^2|\mathbf{k}|^2}{2m},

其中， $\hbar$ 为约化普朗克常数。被占据的态构成一个实心球，其边界是半径为 $k_F$ 的球面。对于具有两个自旋态、电子数密度为 $n_e$ 的未极化三维电子气，

k_F=(3\pi^2n_e)^{1/3}, \qquad E_F=\frac{\hbar^2k_F^2}{2m}.

相应的动量为 $p_F=\hbar k_F$ 。这些表达式通过计数可用的动量态得到，其中包含了自旋简并度。(damtp.cam.ac.uk)

更一般地，在 $d$ 维系统中，正则费米面的维数为 $d-1$ ：在三维中是曲面，在二维中是等能线，在一维中则是孤立的费米点。特殊的能带接触情形可能产生维数更低的零能集合。(ocw.mit.edu)

晶体中的费米面

在晶体中，自由粒子的色散关系由电子能带结构取代。波矢用来标记晶体动量，相差一个倒易晶格矢量的波矢彼此等价。因此，费米面通常绘制在第一布里渊区内，并将相应的边界视为等同。图中看似分离的部分，可能跨越这些边界连接在一起。(davidtong.org)

晶体可以具有属于不同能带的多个费米面片。常见的几何形态包括近球形口袋、细长口袋、近似柱面的面片，以及穿越布里渊区边界的面片。电子口袋包围能带极小值附近的已占据态；空穴口袋包围能带极大值附近的未占据态，后者可以用电子空穴来描述。(davidtong.org)

在通常的能带理论中，部分填充且具有色散的能带一般会产生金属行为。如果化学势位于带隙内，就没有能带穿过化学势，也就不存在电子费米面。这描述的是能带绝缘体，但并未涵盖相互作用或特殊能带交叉可能带来的所有效应。(davidtong.org)

费米面为何决定低能行为

能量远低于费米能的电子难以跃迁到附近的态，因为这些态已经被占据。因此，低能激发涉及的是费米面附近的态。在常规金属状态下，这使得电子热容在足够低的温度下与温度成正比，而不像经典气体那样与温度无关。(damtp.cam.ac.uk)

对于能带或准粒子的色散关系，费米速度为

\mathbf{v}_{F,n} =\left.\frac{1}{\hbar}\nabla_{\mathbf{k}} \varepsilon_n(\mathbf{k})\right|_{\mathrm{FS}}.

它垂直于正则等能面。速度、能带曲率和散射率的变化，共同影响电输运以及对磁场响应的方向差异。因此，费米面不仅反映载流子的数量，其局部几何形态也很重要。(ocw.mit.edu)

相互作用系统与卢廷格定理

对于独立粒子，已占据态与空态之间的边界是严格成立的，但相互作用会改变这一图景。在朗道费米液体理论中，低能激发是寿命很长的准粒子。在零温下，电子动量分布在费米面处仍然保留不连续跃变，但跃变幅度未必等于一。即使远离费米面的占据情况发生了重新分布，费米面仍可保持清晰的定义。(doi.org)

在1960年8月15日发表的一篇论文中，J. M. 卢廷格将这一不连续性与相互作用费米子的费米面联系起来，并确立了对其所包围动量空间体积的约束。在常规费米液体假设下，卢廷格定理将该体积与粒子密度联系起来：在密度固定时，相互作用可以改变费米面的形状，却不能任意改变其包围的体积。在晶体中，计数必须考虑已填满的能带和简并度。这一论断并非不受限制地适用于所有强相互作用相。(doi.org)

类似费米面的奇异性并不必然意味着存在常规准粒子。例如，具有相互作用的一维系统可以有明确定义的费米动量，但其低能激发是集体激发，而非朗道准粒子。(physics.aps.org)

拓扑与嵌套

随着控制参数变化，利夫希茨转变会改变费米面各部分的连通性或数量。例如，可能出现新的口袋，或原先分离的等能线连接起来。这类变化可以由化学势移动或能带色散关系改变引起。这里的拓扑学所涉及的是动量空间集合的连通性，不一定涉及电子波函数的拓扑分类。(arxiv.org)

当费米面上相当大的一部分能够通过同一个波矢 $\mathbf{Q}$ 的平移而彼此重合时，就发生了**费米面嵌套**。它可以增强电子在该波矢处的响应。然而，仅凭几何上的嵌套，并不能确定电荷密度波是否出现，也不能确定其波矢：相互作用、电子—声子耦合以及完整的电子响应函数同样重要。(triqs.github.io)

实验测定

**角分辨光电子能谱学（ARPES）**测量受光照而逸出的电子的能量和发射方向。这些测量能够探测已占据态的电子谱函数，并识别化学势附近能带与化学势的交点。表面敏感性、光电子发射矩阵元，以及垂直于表面的动量分量的不确定性，都会使结果的解读变得复杂，对三维材料尤其如此。(arpes.stanford.edu)

**量子振荡**提供了一种互补的探测手段。在常规金属情形下，随着量子化的轨道能级穿过化学势，电子性质会随磁场倒数近似周期性地振荡。昂萨格关系将振荡频率 $F$ 与垂直于磁场的费米面极值截面积 $A_{\mathrm{ext}}$ 联系起来：

F=\frac{\hbar}{2\pi e}A_{\mathrm{ext}},

其中， $e$ 是正值的元电荷。旋转磁场可以探测不同的截面，从而约束费米面的三维几何形态。磁化强度的振荡对应德哈斯—范阿尔芬效应，电阻的振荡对应舒布尼科夫—德哈斯效应。(davidtong.org)

实验测得的轮廓与理论费米面未必能不加限定地视为一致。热展宽、有限寿命、有限的分辨率，以及强烈依赖动量的谱权重，都可能使费米面的某些部分难以辨认。ARPES与量子振荡测量的是电子结构的不同方面，因此解读结果时需要采用相应的谱函数模型或轨道模型。(arpes.stanford.edu)

参考来源

Solid State Physics — David Tongdavidtong.org
730 Physics for Solid State Applications, Lecture 21ocw.mit.edu
Fermi Surface and Some Simple Equilibrium Properties of a System of Interacting Fermionsdoi.org
Topological approach to Luttinger's theorem and the Fermi surface of a Kondo latticearxiv.org
In a tight spot, spin and charge separatephysics.aps.org
Tunable Fermi surface topology and Lifshitz transition in bilayer graphenearxiv.org
Fermions on the square lattice & perfect nestingtriqs.github.io
Fermi surface nesting and the origin of Charge Density Waves in metalsarxiv.org
Angle-resolved Photoemission Spectroscopy — Shen Laboratoryarpes.stanford.edu
Laser ARPES — Shen Laboratoryarpes.stanford.edu
Fermi pockets and quantum oscillations of the Hall coefficient in high temperature superconductorsarxiv.org