错误发现率 · aiwiki.page

错误发现率（FDR）是统计学中的一种误差准则，用于进行多重假设检验时。它衡量被拒绝的假设中，其原假设实际为真的比例的期望值。与限制至少出现一次错误拒绝的概率的误差准则不同，FDR 控制允许出现一些错误发现，同时限制发现集合中错误发现的平均比例。Yoav Benjamini 和 Yosef Hochberg 于 1995 年提出了这一准则及一种广泛使用的控制方法。(academic.oup.com)

定义

考虑由 $m$ 个假设组成的一组。定义：

$m_0$ 为真的原假设数量；
$R$ 为被拒绝的假设总数；
$V$ 为被拒绝的真原假设数量。

错误拒绝属于第一类错误。数值 $R-V$ 表示对错误原假设的正确拒绝数量。由于拒绝决策取决于抽样数据， $R$ 和 $V$ 是随机变量。错误发现比例（FDP）定义为

\operatorname{FDP}=\frac{V}{\max(R,1)}.

因此，发生发现时 FDP 等于 $V/R$ ；当 $R=0$ 时，则定义为零。FDR 是其期望值：

\operatorname{FDR} =\mathbb{E}\!\left[\frac{V}{\max(R,1)}\right].

如果对其假设所涵盖的每一种数据生成分布，某程序都满足 $\operatorname{FDR}\leq q$ ，则称该程序将 FDR 控制在目标水平 $q$ 。FDP 描述某一次实际得到的发现集合中的错误；FDR 则描述该程序在重复抽样下的平均表现。(arxiv.org)

特别地，一般而言，

\mathbb{E}\!\left[\frac{V}{\max(R,1)}\right] \neq \frac{\mathbb{E}[V]}{\mathbb{E}[R]}

随机比值的期望通常不能用期望之比替代。(genomics.princeton.edu)

与其他误差准则的比较

族错误率（FWER）定义为

\operatorname{FWER}=\Pr(V\geq 1),

即至少出现一次错误拒绝的概率。由于错误发现比例不大于“发生错误拒绝”这一事件的指示函数，

\operatorname{FDR}\leq\operatorname{FWER}.

因此，控制 FWER 也会以相同水平控制 FDR，但反过来通常不成立。在全局原假设下，即所有 $m$ 个原假设都为真时，每项发现都是错误的：只要 $R>0$ ，FDP 就为一。在这一特殊情况下，FDR 与 FWER 相等。(academic.oup.com)

邦费罗尼校正通过将每个假设的检验显著性水平设为 $q/m$ 来控制 FWER。FDR 程序使用较宽松的误差准则，因此可能具有更高的统计功效，尤其是在许多假设为假时。这种差异在于所控制的误差类型，并不意味着所有 FDR 程序都一定优于所有 FWER 程序。(stat.ethz.ch)

FDR 也不同于单项检验的假阳性率。单项检验的假阳性率关注原假设为真时拒绝该假设的条件概率；FDR 关注被选中拒绝的假设中，真原假设所占的比例。两者的分母和含义都不同。(genomics.princeton.edu)

本杰明尼—霍赫伯格程序

本杰明尼—霍赫伯格程序（BH）是一种基于P值的逐步递进程序。对于目标 FDR 水平 $q$ ，将 $m$ 个 P 值按顺序排列：

p_{(1)}\leq p_{(2)}\leq\cdots\leq p_{(m)}.

求

k=\max\left\{i:p_{(i)}\leq\frac{i}{m}q\right\}.

如果集合为空，则不拒绝任何假设；否则，拒绝与 $p_{(1)},\ldots,p_{(k)}$ 对应的假设。该程序选择满足条件的最大秩，而不是在第一次比较不满足条件时停止。(stat.ethz.ch)

数值示例

假设五个排序后的 P 值为

0.001,\quad 0.009,\quad 0.020,\quad 0.041,\quad 0.200.

当 $q=0.05$ 时，BH 的比较阈值为

0.010,\quad 0.020,\quad 0.030,\quad 0.040,\quad 0.050.

满足条件的最大秩为三，因此拒绝前三个假设。若在相同数值水平下应用邦费罗尼校正，则只会拒绝前两个假设。这两种计算都无法确定被拒绝的假设中是否有错误发现，也无法确定具体哪些是假发现。

假设与保证

对于真原假设，有效 P 值满足

\Pr(P_i\leq t)\leq t,\qquad 0\leq t\leq1.

这类 P 值称为超均匀：小值出现的频率不会高于服从均匀分布时的频率。在适当的统计独立性假设下，BH 满足

\operatorname{FDR}\leq q\frac{m_0}{m}\leq q.

当原假设对应的 P 值相互独立、严格服从均匀分布，且独立于非原假设对应的 P 值时，第一个不等式取等号。(arxiv.org)

Benjamini 和 Daniel Yekutieli 于 2001 年证明，在对某个子集的正回归依赖（PRDS）条件下，BH 也能控制 FDR。这是一项涉及真原假设的技术条件。PRDS 并不等同于正的成对相关关系；仅笼统声称检验之间存在正相关，并不足以保证满足这一条件。(math.tau.ac.il)

依赖关系与本杰明尼—耶库捷利程序

本杰明尼—耶库捷利程序（BY）对 BH 进行修改，以适用于有效 P 值之间存在任意依赖关系的情况。定义调和和

H_m=\sum_{j=1}^{m}\frac{1}{j}.

BY 使用如下阈值

p_{(i)}\leq\frac{i q}{mH_m}

其余步骤与 BH 的逐步递进规则相同。等价地，它相当于以目标水平 $q/H_m$ 应用 BH。该程序无需独立性或 PRDS 条件即可控制 FDR，但较小的阈值可能会显著减少发现数量。(math.tau.ac.il)

因此，依赖结构是 FDR 程序数学定义的一部分，而不只是实现细节。仅有有效的单个 P 值，并不能保证标准 BH 程序在所有可能的联合分布下都满足其控制保证。(math.tau.ac.il)

校正 P 值与 Q 值

BH 的判定可以用校正 P 值表示。按顺序排列后，校正值为

\widetilde p_{(i)} = \min\left\{ 1,\, \min_{j\geq i}\frac{m p_{(j)}}{j} \right\}.

拒绝满足 $\widetilde p_i\leq q$ 的假设，就会得到 BH 的发现集合。这里的累积最小值步骤很重要：如果只将每个 P 值乘以 $m/i$ ，而不再进行这一步，通常无法得到正确的校正值。(stat.ethz.ch)

Q值是另一个相关量，由 John Storey 在错误发现率研究中提出。在其原始表述中，Q值是一个与包含观测统计量的拒绝域相关联的最小正错误发现率。它描述所选集合的错误率，而不是某个单独假设为真的概率。尽管 BH 校正 P 值有时也称为 Q 值，但 BH 校正与 Storey 基于估计的 Q 值并非同一种构造。(rss.onlinelibrary.wiley.com)

自适应方法试图通过估计真原假设所占比例来提高统计功效：

\pi_0=\frac{m_0}{m}.

一种估计量使用调节参数 $\lambda$ ：

\widehat{\pi}_0(\lambda) = \frac{\#\{i:p_i>\lambda\}}{m(1-\lambda)}.

其依据是：服从均匀分布的原假设 P 值大于 $\lambda$ 的概率为 $1-\lambda$ 。估计 $\pi_0$ 、选择 $\lambda$ 和选择拒绝阈值都会带来额外的统计问题；简单地将任意估计值代入 BH，并不能自动保留有限样本下的 FDR 控制。(genomics.princeton.edu)

正错误发现率与局部错误发现率

正错误发现率定义为

\operatorname{pFDR} = \mathbb{E}\!\left[\frac{V}{R}\,\middle|\,R>0\right],

前提是 $\Pr(R>0)>0$ 。它不包括没有任何发现的情况。在将零发现时的错误发现比例定义为零后，

\operatorname{FDR} = \operatorname{pFDR}\Pr(R>0).

因此，当某程序很少拒绝任何假设时，FDR 与 pFDR 可能相差很大。(genomics.princeton.edu)

局部错误发现率是另一种基于模型的量。对于检验统计量 $Z$ 的双成分混合模型，

f(z)=\pi_0 f_0(z)+(1-\pi_0)f_1(z),

其中 $f_0$ 和 $f_1$ 分别是原假设和备择假设的概率密度函数。根据贝叶斯定理，

\operatorname{lfdr}(z)=\frac{\pi_0 f_0(z)}{f(z)}.

这是在给定统计量 $z$ 的条件下，该模型将观测归于原假设的后验概率。与集合层面的频率学派 FDR 不同，局部错误发现率针对单个观测，并取决于混合模型及其估计。(stat.cmu.edu)

应用与解释上的局限

FDR 方法尤其适用于大规模发现研究。例如，基因表达实验可能会检验数千个基因在不同条件下是否存在差异。基于 FDR 的分析能够描述最终候选集合中的错误发现比例的期望值，同时保留比更严格的族错误准则可能允许的更多发现。(pmc.ncbi.nlm.nih.gov)

“发现”的含义仍取决于被检验的假设。拒绝原假设并不能证明效应量很大、具有实际重要性，或存在因果关系。在大规模检验中，精确原假设与科学上不重要的效应之间的区别，也会影响对发现的解释。(stat.cmu.edu)

最后，FDR 控制在 $q=0.05$ 并不保证某项具体研究中的发现最多有 5% 是错误的。它控制的是比例的期望值，而实际得到的 FDP 可能在不同研究之间有所变化。它也不意味着每项发现都有 5% 的错误概率。该保证适用于指定的程序及其假设；观测到的发现集合本身，并不能直接测出其中未知的错误比例。(genomics.princeton.edu)

参考来源

Elementary proofs of several results on false discovery ratearxiv.org
The Control of the False Discovery Rate in Multiple Testing under Dependencymath.tau.ac.il
R: Adjust P-values for Multiple Comparisonsstat.ethz.ch
Benjamini-Hochberg Procedure with the Simulatorstat.ethz.ch
A direct approach to false discovery ratesgenomics.princeton.edu
Statistical significance for genomewide studiespmc.ncbi.nlm.nih.gov
Statistical significance for genomewide studiesgenomics.princeton.edu
Large-Scale Simultaneous Hypothesis Testing: The Choice of a Null Hypothesisstat.cmu.edu