简并压强是高密度费米子系统产生的压强，其根源在于泡利不相容原理禁止相同粒子占据同一个单粒子量子态。与经典气体的热压强不同，简并压强在绝对零度下仍不为零。它对白矮星的结构起着关键作用，并与核相互作用共同支撑中子星，使其抵抗引力坍缩。(damtp.cam.ac.uk)
物理起源
包括电子和中子在内的费米子遵循费米—狄拉克统计。在零温下，无相互作用的费米子依次填充可用的最低能态，而不是全部落入同一个态。被占据的最高能量称为费米能。对于自由粒子，填充更高能量的态意味着占据动量更大的态。因此，即使没有热激发，填满这些态的系统中仍存在显著的粒子运动。(damtp.cam.ac.uk)
压缩会提高这一能量。对于盒中的粒子，随着盒子缩小，允许的单粒子能量会升高；对于非相对论性粒子，这些能量与盒子线性尺度的平方成反比。压缩这些已占据态所需的功，在宏观上表现为压强。若 (U_0) 是体积 (V) 内 (N) 个粒子的基态能量，则
[ P_0=-\left(\frac{\partial U_0}{\partial V}\right)_N. ]
因此，即使在不含粒子间相互作用的模型中，简并压强也依然存在：它并不是一种额外的基本排斥力，而是允许的量子态及其对体积的依赖所产生的结果。(paradigms.oregonstate.edu)
物质何时进入简并状态
对于非相对论性气体，其特征温度是费米温度：
[ T_F=\frac{E_F}{k_B}, ]
其中 (k_B) 是玻尔兹曼常数。当气体的温度满足 (T\ll T_F) 时，气体处于强简并状态。因此，这里的“冷”是相对于费米能对应的温度而言，并不一定是日常温标意义上的低温。高密度恒星物质即使在数百万开尔文的温度下，也可能处于强简并状态。(damtp.cam.ac.uk)
在有限温度下，能量为 (\epsilon) 的单粒子态的平均占据数为
[ f(\epsilon)= \frac{1}{\exp[(\epsilon-\mu)/(k_BT)]+1}, ]
其中 (\mu) 是化学势。在零温下，这一分布变为阶跃函数：低于 (E_F) 的态被占据，高于它的态为空。升高气体温度会使这一分界变得平滑，占据数的变化主要发生在费米能附近。(damtp.cam.ac.uk)
简并的理想费米气体与经典气体之间并不存在清晰的相边界。随着温度相对于 (T_F) 升高，气体的行为会连续地从前者过渡到后者。(arxiv.org)
状态方程
最简单的定量处理假定系统是均匀的三维气体，由无相互作用、自旋为 (\tfrac12) 的粒子组成，且两个自旋态的粒子数相等。以 (n=N/V) 表示粒子数密度，并令 (\hbar=h/(2\pi))，其中 (h) 是普朗克常数。通过计数已占据的态，可以得到费米动量：
[ p_F=\hbar(3\pi^2n)^{1/3}. ]
由此得到的状态方程取决于粒子运动处于非相对论性还是相对论性范围。(damtp.cam.ac.uk)
非相对论极限
当 (p_F\ll mc) 时，其中 (m) 为粒子质量，(c) 为光速，
[ E_F=\frac{p_F^2}{2m}. ]
零温下的动能和压强分别为
[ U_0=\frac35NE_F, \qquad P_0=\frac25nE_F =\frac{\hbar^2}{5m}(3\pi^2)^{2/3}n^{5/3}. ]
因此，(P_0\propto n^{5/3})。在相同数密度下，质量较小的粒子会产生更大的非相对论简并压强，因为压强与粒子质量成反比。这解释了为什么在白矮星模型中，电子压强远大于质量大得多的原子核按理想气体模型计算的简并压强贡献。(damtp.cam.ac.uk)
超相对论极限
当 (p_F\gg mc) 时，粒子能量近似为 (pc)。此时压强为
[ P_0=\frac14np_Fc =\frac{\hbar c}{4}(3\pi^2)^{1/3}n^{4/3}. ]
因此，压强按 (n^{4/3}) 增长，在压缩过程中，其增长速度比非相对论情形更慢。这一变化是白矮星存在质量上限的关键。在这两个极限之间，状态方程必须保留完整的相对论性能量—动量关系。(maths.cam.ac.uk)
温度依赖性
简并压强常被称为与温度无关，但严格来说，这只适用于其零温值。对于数密度固定的三维非相对论理想费米气体，低温展开给出
[ P(n,T)=P_0(n) \left[ 1+\frac{5\pi^2}{12} \left(\frac{T}{T_F}\right)^2 +O!\left(\frac{T}{T_F}\right)^4 \right]. ]
因此，当 (T\ll T_F) 时，热修正很小。在温度足够高、量子态占据数足够低时，压强趋近于经典理想气体的结果 (P=nk_BT)。(arxiv.org)
一般不能通过在零温简并压强上简单加上 (nk_BT) 来得到有限温度下的压强。这两种情形都源于同一个费米—狄拉克分布，两者之间的过渡必须以自洽的方式计算。(arxiv.org)
在致密星中的作用
白矮星
白矮星内部的原子核之间分布着高密度的电子。原子核提供了大部分质量，而简并电子提供了大部分支撑压强。这使得这类恒星遗骸在冷却过程中仍能保持抵抗引力的平衡，而无须依靠持续的核聚变来维持支撑。质量更大的白矮星通常体积更小、密度更高。(damtp.cam.ac.uk)
随着密度增加，电子进入相对论性运动范围，压强规律趋近于较软的 (n^{4/3}) 标度。对于低温、不自转且平均每个电子对应约两个核子的白矮星，理想化的钱德拉塞卡极限约为 (1.4) 个太阳质量。它限制的是白矮星构型的质量，而不是其前身恒星初始质量的普适阈值。(nobelprize.org)
中子星
在中子星中，中子简并对压强有所贡献，但将整颗星视为理想中子气体并不足以描述其性质。核粒子之间的相互作用，包括与强相互作用相关的作用，对其状态方程十分重要。其平衡结构也必须在广义相对论框架下处理。(astro.princeton.edu)
因此，能够得到支撑的中子星最大质量取决于致密物质的状态方程，而不是仅由中子简并压强决定。核密度附近的压强也对恒星半径有重要影响。(arxiv.org)
历史发展
1926 年，拉尔夫·H. 福勒将新近发展的费米子量子统计应用于高密度恒星物质，说明了电子简并如何解释白矮星在损失大量能量后仍能获得支撑。这取代了仅依赖经典热运动的解释。(nobelprize.org)
20 世纪 30 年代初，苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡发展了白矮星结构及其质量上限的相对论理论。决定性的特征是压强指数从非相对论情形的 (5/3) 转变为超相对论情形的 (4/3)。他的研究将微观量子统计与整颗恒星可能具有的平衡构型联系起来。(nobelprize.org)
适用范围与局限
理想费米气体公式提供的是一个基准，而不是对所有简并物质的完整描述。这些公式假定了特定的维数、粒子色散关系、自旋态粒子数分布，并假定不存在相互作用。固体中的电子系统可能需要以不同方式描述其可用态，而中子星物质的描述则需要考虑核相互作用和相对论性恒星结构。(arxiv.org)
简并也不意味着物质不可压缩。在理想模型中，任何有限密度下的压强都保持有限，并随压缩连续增大。引力不稳定也不意味着泡利不相容原理不再起作用：即使粒子仍然遵循费米子量子统计，一个构型也可能缺乏足够的压强支撑。(paradigms.oregonstate.edu)
参考来源
- Pressure and entropy of a degenerate Fermi gas — Handoutparadigms.oregonstate.edu
- Thermodynamics of the nonrelativistic free-electron Fermi gas in one, two, and three dimensions from the degenerate to the nondegenerate temperature regimearxiv.org
- University of Cambridge: Mathematical Tripos Part II, 2004maths.cam.ac.uk
- Subrahmanyan Chandrasekhar — Nobel Lecturenobelprize.org
- Subrahmanyan Chandrasekhar — Factsnobelprize.org
- Stars in an Exoplanet Worldscience.nasa.gov
- Modelling and measuringasd.gsfc.nasa.gov
- Neutron Starsastro.princeton.edu
- Neutron star equilibrium configurations within a fully relativistic theory with strong, weak, electromagnetic, and gravitational interactionsarxiv.org
- Neutron Star Structure and the Equation of Statearxiv.org