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地理 / latitude-and-longitude

经纬度

经纬度是相对于赤道和参考子午线确定地球上位置的角坐标。

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地球地图天文学米有序对几何学引力华盛顿哥伦比亚特…经纬度

纬度和经度是一组角坐标，两者结合使用，可确定地球上的位置。纬度表示某一位置在赤道以北或以南的方位，经度则表示该位置在指定本初子午线以东或以西的方位。纬度相同的各点连成纬线，经度相同的各点连成经线；纬线与经线共同构成地球仪和地图上使用的地理坐标网。与以米为单位测量的距离不同，这些坐标表示的是角度，通常以度为单位。(rmg.co.uk)

精确的坐标取决于如何定义地球的形状及坐标参考系统。在大地测量学中，纬度通常指赤道平面与参考椭球面法线之间的夹角；它一般并不等同于从地心测得的角度。大地基准或参考框架为解读一组经纬度坐标提供依据，而椭球高可作为第三个坐标。这些区别是测量、导航以及空间信息整合的基础。(proj.org)

经纬度的发展将天文学、地图学和精密计时联系在一起。海上经度测定推动了天文测定方法和航海天文钟的发展，而1884年采用格林尼治子午线作为本初子午线，则有助于确立统一的国际参考基准。此后，基于卫星的参考框架进一步完善了这一体系；如今，标准化的坐标格式使不同数字系统能够交换地理位置信息。(rmg.co.uk)

角坐标与经纬网

纬度和经度是一组相互补充的角坐标，用于确定地球上的水平位置。纬度通常以 ϕ\phi 表示，衡量位置在赤道以北或以南的程度；经度以 λ\lambda 表示，衡量位置在参考子午线以东或以西的程度。在球形地球模型上，纬度是赤道平面与球心到该点的连线之间的夹角，经度则是从参考子午线绕极轴转到该点所在子午线的角度。这些是地理坐标，以角度单位而非长度单位表示。精确的地球坐标通常采用椭球模型，其中纬度的定义不同于简单球形模型中的定义。(oc.nps.edu)

经纬网以地球自转的两极和赤道为基准构建。在理想化的球形地球模型中，北极和南极是自转轴与地表相交的两个点。赤道平面经过球心，并与自转轴垂直；该平面与地表相交形成赤道，其纬度为 0∘0^\circ。其他纬度相同的线称为纬线：它们位于与赤道平面平行的平面内，沿东西方向环绕地球。纬线圈越靠近两极越小，到两极时便缩为点。纬度从南极的南纬 90∘90^\circ 延伸至北极的北纬 90∘90^\circ；赤道将地球分为北半球和南半球。(oc.nps.edu)

子午线是经度相同、从一极延伸至另一极的线。与纬线不同，子午线在两极交汇。子午线和纬线共同组成经纬网，在球面上彼此垂直相交。在两极以外，一条指定的纬线与一条指定的子午线只相交于一个点：例如，30∘30^\circ N, 60∘60^\circ E 表示赤道以北30度的纬线与经度起算线以东60度的子午线的交点。经度通常以经度为 0∘0^\circ 的本初子午线为起点，范围从西经 180∘180^\circ 到东经 180∘180^\circ；这两个180度界限表示的是地球另一侧的同一条子午线。在任一极点，所有子午线都交汇于此，因此经度无法进一步区分位置。(oc.nps.edu)

经纬网不应与投影后的直角坐标网混淆。地图投影将地理位置表示在平面上，其坐标可用东向坐标和北向坐标表示，通常以米为单位。这些数值以投影的坐标轴和指定原点为基准，而不是直接度量相对于赤道和本初子午线的角度。例如，在通用横轴墨卡托坐标系中，一个分区的中央子午线被赋予500,000米的东向坐标；位于其以东一米处的点，其东向坐标为500,001米。这类数值属于特定的投影坐标网，而不属于全球性的角坐标经纬网。(usgs.gov)

纬度—经度有序对提供两个坐标，并不能完整确定三维位置。它确定的是相对于参考面的水平位置，却没有说明该点位于参考面之上或之下多远。因此，还需要第三个坐标，即高度：地理位置可记为 (ϕ,λ,h)(\phi,\lambda,h)，其中 hh 表示相对于参考椭球面的高度。不同高度的点可以具有相同的纬度和经度。还必须明确高度基准，因为椭球高与相对于以海平面为基准的表面所测得的高程是不同的量。(repository.library.noaa.gov)

球面与椭球面上的纬度

在地球的球体模型中，纬度是赤道平面与从球心指向某点的半径之间的夹角。半径也垂直于球面，因此用表面法线来定义纬度，会得到相同的角度。地球自转造成的扁平形状，用扁球形的参考椭球能更准确地表示：它是由椭圆绕较短的极轴旋转而成的。其赤道半轴 aa 大于极半轴 bb。在这一曲面上，法线通常不经过中心，因此，如果不指明用于定义的直线，“与赤道平面的夹角”就会产生歧义。所以，理解某一纬度时，必须明确它所采用的曲面模型和纬度定义。(oc.nps.edu)

**大地纬度记作 ϕ\phi，是赤道平面与参考椭球外法线之间的夹角。对于椭球面上方的点，用于定义纬度的方向是从椭球面延伸并通过该点的法线方向。地心纬度**记作 ϕc\phi_c，则使用连接椭球中心与该点的直线来定义。这两种角度均以向北为正、向南为负。地图绘制和地理坐标通常采用大地纬度；地心纬度则描述从中心出发的位置矢量的方向。二者的差异源于几何关系，而不是观测误差。(oc.nps.edu)

对于参考椭球面上的点，二者的关系为

tan⁡ϕc=(1−e2)tan⁡ϕ,e2=a2−b2a2=2f−f2,f=a−ba.\tan\phi_c=(1-e^2)\tan\phi, \qquad e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}=2f-f^2, \qquad f=\frac{a-b}{a}.

其中，ee 为椭球的第一偏心率，ff 为其扁率。这一关系来自子午椭圆的几何学性质：若某点到极轴的径向距离为 pp，在赤道平面上方的高度为 zz，则从中心指向该点的半径斜率为 z/pz/p，而表面法线的斜率为 a2z/(b2p)a^2z/(b^2p)。因此，除赤道和两极外，地心纬度的绝对值都小于大地纬度的绝对值。两种角度在赤道处相等，在两极处也相等；后者是由极限情况下的几何关系得出的，而不能直接代入正切公式求得。对于球体，a=ba=b 且 e=0e=0，因此两种纬度处处相等。上述椭球面点的公式通常不适用于大地高非零的点。(oc.nps.edu)

WGS 84 椭球提供了一个数值示例：其定义参数中，赤道半轴为 6,378,1376{,}378{,}137 米，扁率倒数为 298.257223563298.257223563。由此可得 e2≈0.00669438e^2\approx0.00669438。代入椭球面点的关系式可知，大地纬度为北纬 45∘45^\circ 的点，其地心纬度约为北纬 44.8076∘44.8076^\circ，两者相差约 0.1924∘0.1924^\circ，即 11.5511.55 角分。这一计算结果说明，尽管地球的扁率很小，两种纬度定义仍不能混用。(earth-info.nga.mil)

天文纬度通常记作 Φ\Phi，采用第三种方向来定义：当地竖直向上的方向，也就是与铅垂线所指示的有效引力方向相反的方向。它是这一竖直方向与赤道平面之间的夹角，而不是椭球法线与赤道平面之间的夹角。质量分布不均匀，会使实际的竖直方向偏离光滑椭球面的法线。这一角度偏差称为垂线偏差，其南北分量为 ξ=Φ−ϕ\xi=\Phi-\phi。美国国家海洋和大气管理局（NOAA）下属的国家大地测量局指出，地表的垂线偏差通常为几角秒，有时可达一角分。因此，天文纬度与大地纬度的差异有其物理原因，这与大地纬度和地心纬度之间纯粹由几何关系造成的差异不同。(geodesy.noaa.gov)

经度、本初子午线与时间

经度用 λ\lambda 表示，是某地子午面与参考子午面之间绕极轴测量的有向角。在球体或旋转椭球体上，每个子午面都包含极轴；经度确定的是子午面在赤道平面内的方位，而不是沿该地所在纬线测量的角度。按照惯例，向东的角度为正，向西的角度为负：因此，东经 30∘30^\circ 和西经 30∘30^\circ 分别表示 λ=+30∘\lambda=+30^\circ 和 λ=−30∘\lambda=-30^\circ。赤道平面由地球自转轴决定，而经度的起点并没有哪一条子午线在物理上具有特殊地位。因此，必须通过约定选定一条本初子午线。(oc.nps.edu)

历史上的地图曾使用多种不同的经度起点，包括巴黎、加那利群岛的费罗岛以及圣彼得堡附近的普尔科沃。相对于格林尼治，这些子午线的位置分别约为向东 2∘20′2^\circ20'、向西 17∘40′17^\circ40' 和向东 30∘20′30^\circ20'。因此，若不确定参考子午线，就无法准确解读旧地图上的经度。历史上的格林尼治参考子午线由艾里中星仪确定，该仪器于1851年在乔治·比德尔·艾里主持下安装于皇家天文台。1884年，在华盛顿哥伦比亚特区召开的国际子午线会议选定经过这台仪器的子午线作为共同的经度起点；各国采用这一标准的具体过程，则属于更广泛的坐标标准化历史。(guides.loc.gov)

经度与地方太阳时直接相关，因为地球自转使各条子午线依次转过太阳所在的方向。一个完整的平太阳日周期对应于24小时内转过 360∘360^\circ，因此有

360∘24 h=15∘/h.\frac{360^\circ}{24\ \mathrm{h}}=15^\circ/\mathrm{h}.

所以，经度每相差一度，太阳时就相差四分钟；经度每相差一角分，时间就相差四秒。在东经为正的约定下，地方平太阳时与格林尼治平太阳时之差为 λ/(15∘/h)\lambda/(15^\circ/\mathrm{h})，并按24小时取模。例如，当格林尼治平太阳时为12:00时，东经 30∘30^\circ 处为14:00，西经 75∘75^\circ 处为07:00。由于地球轨道的偏心率和地轴倾斜，日晷显示的真太阳时与平太阳时之间的差异会随季节变化；这一差值称为时差，最大可达约16分钟。(aa.usno.navy.mil)

民用钟表时间并不是经度的连续函数。时区边界由各国政府划定，通常沿行政边界而非子午线分布；同一时区内各地虽然太阳时不同，钟表时间却相同。夏令时调整又增加了一重区别。因此，每小时对应 15∘15^\circ 的关系表达的是天文学上的联系，而不是可以据以推算某地法定时间的规则。(aa.usno.navy.mil)

历史上的格林尼治子午线也不同于IERS参考子午线，后者是现代地心坐标系采用的零经度基准。在格林尼治，IERS参考子午线经过艾里中星仪以东约102.5米处；这台仪器在现代大地测量坐标系中的经度约为西经 5.3′′5.3''。历史上的天文测定以当地由重力确定的铅垂线为观测基准。这条铅垂线与地心参考椭球面的法线并不完全重合，两者之间的偏差称为垂线偏差。斯蒂芬·马利斯及其同事于2015年证明，垂线偏差的东西分量解释了格林尼治的这一偏移。将参考平面与地面的交线向东移动，可以使该平面通过地心，同时基本保持计时所用的天文方位不变。因此，在历史子午线的庭院标线上，全球定位系统接收机测得的经度并不恰好为零。(rmg.co.uk)

坐标记法与数字表示

角坐标通常有三种写法：度分秒（DMS），例如 40∘30′15′′40^\circ 30' 15''；度与十进制分（DDM），例如 40∘30.25′40^\circ 30.25'；以及十进制度（DD），例如 40.5041667∘40.5041667^\circ。一度等于 60 角分，一角分等于 60 角秒，因此一角秒等于 1/36001/3600 度。这些细分单位描述的是角度，而不是时间间隔。DMS 记法中的秒数可以带有小数；例如，美国国家大地测量局的数据表以整数度、整数分、带小数的秒以及半球标识来表示大地坐标。该局用于提交手持设备定位数据的界面也接受度与十进制分的写法。(geodesy.noaa.gov)

半球字母为原本非负的角度大小赋予方向：N 和 S 分别表示赤道以北和以南的纬度，E 和 W 则分别表示参考子午线以东和以西的经度。在通常的带符号表示法中，北纬和东经为正，南纬和西经为负。对于非负的度、分、秒分量 DD、MM 和 SS，转换为带符号的十进制度的公式为

θ=σ(D+M60+S3600),\theta=\sigma\left(D+\frac{M}{60}+\frac{S}{3600}\right),

其中，N 或 E 对应 σ=+1\sigma=+1，S 或 W 对应 σ=−1\sigma=-1。正负号作用于整个角度大小，而不只是度数分量。例如，73∘59′15′′W73^\circ 59' 15''\mathrm{W} 可转换为 73∘59.25′W73^\circ 59.25'\mathrm{W}，或 −(73+59/60+15/3600)=−73.9875∘-(73+59/60+15/3600)=-73.9875^\circ。反过来，将 73.987573.9875 的小数部分乘以 60，可得 59.2559.25 分；再将剩余的 0.250.25 分乘以 60，可得 15 秒。(geodesy.noaa.gov)

坐标顺序与角度记法是彼此独立的约定。纬度在前的有序数对写作 (φ,λ)(\varphi,\lambda)；美国国家大地测量局的记录也将纬度列在经度之前。因此，以纬度在前的数对 (40.5041667,−73.9875)(40.5041667,-73.9875) 为例，它表示一个位于北纬、西经的地点。如果没有坐标轴标签或指定格式，仅凭这两个数字无法确定哪个坐标轴在前。将此例中的两个数对调后，数值仍处于允许的角度范围内，但表示的却是另一个地点。(geodesy.noaa.gov)

GeoJSON 是一种地理数据交换格式，由 2016 年 8 月发布的 RFC 7946 规定，它要求采用相反的顺序：经度在前，纬度在后。上述示例数对会编码为 {"type":"Point","coordinates":[-73.9875,40.5041667]}。其中的坐标是以十进制度表示的 JSON 数字，不含度符号或半球字母。RFC 7946 指定采用1984 年世界大地测量系统（WGS 84）基准，以及等同于 OGC CRS84 的地理坐标参考系统；由此确定了数据交换所用的参考系统和水平坐标轴顺序。(rfc-editor.org)

GeoJSON 的位置数组可以包含第三个数字，以米为单位表示相对于 WGS 84 参考椭球面的高度，可位于椭球面之上或之下。因此，[-73.9875,40.5041667,25] 指定的是 25 米的椭球高，并不一定表示高于平均海平面 25 米的高程。省略这一分量并不意味着椭球高为零。RFC 7946 也不建议将位置数组扩展到三个元素以上：时间戳或沿路线的量测值等附加数值没有标准化的解释方式，解析器可能会将其忽略。(rfc-editor.org)

大地基准与参考框架

参考椭球定义了一个近似地球形状的数学表面，通常由其长半轴 aa 和扁率 f=(a−b)/af=(a-b)/a 来描述，其中 bb 为短半轴。仅凭椭球的尺寸，还不能确定它相对于实际地球的位置。大地基准提供了这种对应关系，包括确定位置所用的原点和定向。地球参考框架通过赋予可识别测站数值坐标来实现参考系统，通常还包括测站的速度。在现代标准中，这些术语的含义有所重叠：大地参考框架本身也可能被归类为基准。坐标参考系统将基准或参考框架与坐标系结合起来，后者规定坐标轴、坐标轴的顺序及单位。因此，要使地理坐标具有明确无歧义的含义，就必须说明所采用的基准或参考框架、坐标约定，以及随时间变化的位置所对应的历元；如有高度，还必须明确其高度基准。(geodesy.noaa.gov)

GRS 80、WGS 84、NAD 83 和 ITRF 分别指相互关联但各不相同的大地测量对象。1980 大地参考系统提供了 GRS 80 椭球，1983 北美基准采用的正是这一椭球。它的长半轴为 6 378 1376\,378\,137 米，扁率倒数约为 298.257222101298.257222101。WGS 84，即 1984 世界大地测量系统，其涵盖范围不止一个椭球：它定义了一个地心地固系统，以及全球定位系统所采用的相应参考框架实现。其椭球的长半轴与 GRS 80 相同，但扁率倒数为 298.257223563298.257223563。这些几乎相同的尺寸并不意味着 NAD 83 和 WGS 84 可以互换，因为二者实现中的原点、定向及其随时间的演变也至关重要。NAD 83 于 1986 年首次发布，其最初的测量网平差纳入了约 25 万个测站。(geodesy.noaa.gov)

国际地球参考框架（ITRF）是国际地球参考系统的一种实现，而不是某个特定的椭球。ITRF2020 综合了甚长基线干涉测量、卫星激光测距、全球导航卫星系统和 DORIS 卫星跟踪所获得的测站位置时间序列，以及通过测量确定的同址仪器间的位置联系。这类实现是在统一的全球框架下估计测站的位置和速度。NAD 83 的各个实现则服务于不同的目的：例如，NAD 83(2011) 以北美构造板块为参考，而 PA11 和 MA11 分别与太平洋板块和马里亚纳板块关联。这一区别会影响板块构造引起的运动在所报告坐标中的表现。(itrf.ign.fr)

因此，同一个测量标志在不同基准下可能具有不同的纬度和经度值，而其实际位置并未改变。这些差异可能源于椭球、参考原点、定向、尺度，或旧测量网遗留下来的畸变。基准变换用于处理这些差异：三维赫尔默特变换可以施加三个平移量、三个旋转量和一个尺度变化，而空间改正格网则可以表示单一参数组无法充分描述的空间变化。与时间有关的变换还可能包含各参数的变化率。这与地图投影转换不同，后者在保留底层基准的同时，将地理坐标转换为平面坐标。仅仅给现有数值换上另一个基准标签，并不构成变换。(proj.org)

严谨的记录会区分参考框架实现的名称与具体坐标所对应的历元。在“NAD 83(2011)，历元 2010.00”中，括号内的数字标识该实现，而历元表示 2010 年 1 月 1 日。同样，ITRF2020 的参考历元是 2015.0，而不是 2020。对于运动近似匀速的测站，可以用 X(t)=X(t0)+V(t−t0)\mathbf{X}(t)=\mathbf{X}(t_0)+\mathbf{V}(t-t_0) 推算其他时刻的坐标，其中 X(t0)\mathbf{X}(t_0) 是测站在参考历元的位置，V\mathbf{V} 是其速度。ITRF2020 还在适用情况下提供震后项和季节项，因为仅用恒定速度无法表示测站的所有运动。如果观测结果已归算至统一的参考日期，观测日期就不一定与坐标历元一致。(geodesy.noaa.gov)

通过观测与测量确定位置

天文纬度通过测量天体方向相对于当地铅垂线或地平线的位置来确定。在海上，六分仪用于测量太阳或恒星在可见地平线以上的高度角；观测归算需考虑仪器误差、观测者高度所造成的地平俯角、大气折射，以及适用情况下的视差和所观测天体的视半径。天体上中天时，经改正的高度角 hh 与天体赤纬 δ\delta（即天体在天赤道以北或以南的角距离）满足 90∘−h=∣ϕA−δ∣90^\circ-h=|\phi_{\mathrm{A}}-\delta|，其中 ϕA\phi_{\mathrm{A}} 为天文纬度。天体位于天顶以北还是以南，可用于判定纬度的正负：例如，太阳位于天赤道上时，若正午在正南方向测得其经改正的高度角为 50∘50^\circ，则观测地点的纬度为北纬 40∘40^\circ。在北半球，北极星也可作为参考，因为其高度角近似等于纬度，但需对其偏离天极的位置作出改正。这些观测以重力所定义的铅垂线为基准，而非直接以椭球面的法线为基准。（thenauticalalmanac.com）

天文经度的确定需要比较当地测定的时间与参考子午线上的时间。天体中天观测或高度角观测用于确定当地天文时间；航海天文钟则提供从已知子午线携带而来的参考时间，并需考虑其钟差和走时速率。当两种读数采用同一时间尺度时，一小时的时间差对应 15∘15^\circ 的经度差。因此，当格林尼治平时为12:00，而当地平时为14:00时，所在地的经度为东经 30∘30^\circ；若使用视太阳时，则必须先将其换算为平时。月距法则利用月球与太阳或选定恒星之间不断变化的角距离来获取参考时间。对观测角距离作折射和视差改正后，将其与预报角距离比较，即可求得参考时间，再与当地时间比较。内维尔·马斯基林的《航海历》提供了1767年的月距预报，使航海者能够在实际航行中利用这座天文时钟。（ngs.noaa.gov）

陆地测量通过大地控制网传递已确定的坐标，而不必在每个点上独立进行天文测定。在三角测量中，利用测得的基线和观测角度，通过三角学逐次求出三角形各边的长度；起始坐标和方位则为整个网络提供定位与定向依据。三边测量直接测量三角形的边长，而导线测量则通过依次测得的距离和角度逐点推算位置。多余观测和网平差用于协调观测结果之间的差异，并估计坐标的不确定度。永久性测量标石保存了可识别的测量点，以便后续测量与之联接。在美国，横贯大陆的三角测量弧工程于1871年启动；后来进行的高精度横贯大陆导线测量于1976年完成。这类相互联接的测量使广大区域内的坐标保持彼此一致。（ngs.noaa.gov）

卫星定位以无线电信号观测取代天体高度角观测和地面视线观测。GPS接收机将卫星广播的位置与测得的信号传播时间结合起来。传播时间乘以光速，便得到表观距离，即伪距，其中还包含接收机时钟误差和信号传播效应。在不附加约束的情况下，三维定位解算通常至少需要四颗卫星，才能同时求解三个空间坐标和接收机的时钟偏差。所得位置先在地心地固坐标系中计算，再转换为纬度、经度和椭球高。GPS通过卫星及其监测基础设施实现WGS 84；无线电观测值本身并不是经纬度读数。（govinfo.gov）

测量级卫星数据处理还会将新观测与坐标已知的参考站联接起来。例如，美国国家海洋和大气管理局（NOAA）的在线定位用户服务利用连续运行参考站来处理用户上传的GPS观测数据；天线类型和天线高度也是观测元数据的一部分。网络处理可先在某个国际地球参考框架中估计坐标，再将其转换到选定的输出框架。因此，观测方法与所报告的大地基准是两个不同的概念：同一个通过卫星观测确定的点，无需重新设站观测，就可以用不同参考框架下的坐标来表示。公开发布的记录除了给出纬度和经度数值，还必须注明参考框架的具体实现及坐标历元。（ngs.noaa.gov）

距离、方向与坐标几何

角坐标之差本身并不是距离。沿子午线，纬度每变化一度，对应的距离约为 111 千米；由于地球呈椭球形，这一数值会略有变化。经度对应的距离则更明显地取决于纬度：子午线向两极汇聚，因此随着纬度绝对值增大，一度经度所跨越的距离逐渐减小。美国地质调查局给出的示例数值表明，在北纬 38∘38^\circ 处，每度纬度约对应 364,000 英尺（111 千米），每度经度约对应 288,200 英尺（88 千米）。因此，经纬网中角度大小相同的网格单元，在不同纬度处的东西向尺寸并不相等。(usgs.gov)

对于半径为 RR 的球体，这些关系可以由初等几何推导得出。子午圈是半径为 RR 的圆，而纬度为 φ\varphi 的纬圈半径为 Rcos⁡φR\cos\varphi。利用弧长等于半径乘以圆心角的关系，可得带符号的局部位移分量：

dsnorth=R dφ,dseast=Rcos⁡φ dλ,ds_{\mathrm{north}}=R\,d\varphi, \qquad ds_{\mathrm{east}}=R\cos\varphi\,d\lambda,

其中两个角增量均以弧度为单位。由于北向与东向相互垂直，球面上的线元为

ds2=R2 dφ2+R2cos⁡2φ dλ2.ds^2=R^2\,d\varphi^2+R^2\cos^2\varphi\,d\lambda^2.

对于相距较近的两点，取两点平均纬度的余弦值，即可得到局部距离的近似值。取 R=6,371R=6{,}371 千米时，每度纬度约对应 111.2 千米，而沿 60∘60^\circ 纬圈，每度经度约跨越 55.6 千米。同样，局部方向可由 α=atan2⁡(dseast,dsnorth)\alpha=\operatorname{atan2}(ds_{\mathrm{east}},ds_{\mathrm{north}}) 求得，其中 α\alpha 从北向起沿顺时针方向量取；这只是局部近似，并非适用于一般长距离情形的方位角公式。(oc.nps.edu)

精确计算需用参考椭球代替球体，并采用大地纬度。此时需要两种不同的曲率半径：决定南北向位移的子午圈曲率半径 M(φ)M(\varphi)，以及决定东西向位移的卯酉圈曲率半径 N(φ)N(\varphi)。在椭球表面，

dsnorth=M(φ) dφ,dseast=N(φ)cos⁡φ dλ.ds_{\mathrm{north}}=M(\varphi)\,d\varphi, \qquad ds_{\mathrm{east}}=N(\varphi)\cos\varphi\,d\lambda.

这两种半径都随纬度变化，均不能简单地用地心到表面点的距离代替。因此，求取一段有限的子午线弧长，需要在相应的纬度区间上对 M(φ)M(\varphi) 积分。沿纬圈的弧长等于 N(φ)cos⁡φN(\varphi)\cos\varphi 乘以所跨越的经度角，但这段纬圈弧通常并不是其两端点之间最短的表面路径。(oc.nps.edu)

表面距离也不同于三维空间中的直线距离。在球面上，最短的表面路径沿着大圆的较短弧段延伸，该大圆所在的平面通过球心。如果其两端点对应的圆心角为 σ\sigma，则表面距离为 RσR\sigma，而由初等几何可得弦长为 2Rsin⁡(σ/2)2R\sin(\sigma/2)。在椭球上，最短的表面路径是测地线的一段，通常并非位于某一平面内的大圆弧。测地线反解问题根据两组坐标确定距离和两端点的方位角；正解问题则根据起点位置、初始方位角和距离确定终点。方位角从北向起沿顺时针方向量取，其数值通常会沿路径变化。这些模型表面上的距离不计入地形起伏。(ncl.ucar.edu)

经纬度也可以在笛卡尔坐标系中表示。对于以原点为球心的单位球，令 zz 轴指向北极，xx 轴在零度经度处与赤道相交，yy 轴在东经 90∘90^\circ 处与赤道相交。将赤道面上的投影与极轴方向的分量分解，可得

x=cos⁡φcos⁡λ,y=cos⁡φsin⁡λ,z=sin⁡φ.x=\cos\varphi\cos\lambda,\qquad y=\cos\varphi\sin\lambda,\qquad z=\sin\varphi.

将这些分量乘以 RR，便得到半径为 RR 的球面上的坐标。对于两个单位位置向量 u\mathbf{u} 和 v\mathbf{v}，由其点积可得 cos⁡σ=u⋅v\cos\sigma=\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}，从而将笛卡尔几何与大圆距离直接联系起来。这些球面公式不能原样套用于椭球上的大地纬度，因为椭球表面的法线方向通常与地心指向该点的方向不同。(ncl.ucar.edu)

历史发展与国际标准化

公元前3世纪，埃拉托色尼（约公元前276—前194年）以选定的纬线和经线为框架来整理地理信息，而非采用等角间隔的网格。他所使用的南北距离，很可能是以斯塔迪亚为单位表示的子午线弧长；据传他测得的地球周长为252,000斯塔迪亚，相当于每度700斯塔迪亚。此后，喜帕恰斯（约公元前190—前120年）进一步将地面位置与天文学联系起来。据传源自他的纬度资料，包括最长白昼的时长、冬至日太阳的正午高度，以及竖直表杆与其影长的比值。这些都是可用于推算纬度的不同物理量。两位学者的地理著作均未完整留存：大量证据来自斯特拉波《地理学》中的引述与讨论。因此，在重建他们的坐标体系时，必须区分明确流传下来的测量结果、后人推断的计算方法，以及传抄过程中产生的数值矛盾。(arxiv.org)

公元2世纪，托勒密将地理坐标作为其《地理学》的组织框架，列出了各地的位置，并说明如何将这些位置绘制在地图上。他的经度以一条与幸福群岛相关的西方基准子午线为起点，而不是以格林尼治为起点。这些岛屿究竟对应今天的哪些岛屿，以及他的零度经线在地理上位于何处，仍是历史研究的课题；不应将这一古代地名视为明确无歧义的现代测量基准。因此，托勒密流传下来的坐标表，与埃拉托色尼和喜帕恰斯残存的地理著作，提供的是不同类型的证据。(arxiv.org)

经度问题在航海中尤为重要，因为航海者需要在航行途中可靠地确定东西方向上的位置，而不能仅靠航向和航程逐步累积估算。英国1714年《经度法案》为切实可行的解决方案设立了奖金；法案列明的目的包括使航行更安全、更快捷，保护船只与生命，以及促进贸易。(rmg.co.uk) 约翰·哈里森选择了计时方法：将能够持续保持基准时间的钟表读数与当地测定的时间相比较，即可确定经度。他的第一台航海计时器H1于1735年公开展示，并于1736年在前往里斯本的航程中接受测试。其相互联动的摆轮旨在解决船只运动时难以保持规则摆动的问题。在H2和H3之后，哈里森研制了H4，这是一台外形如怀表、采用快速振荡摆轮的仪器。1761年，他的儿子威廉携带H4，在前往牙买加的航程中进行试验。这次试验并未立即解决奖金归属问题；1764年又进行了前往巴巴多斯的试验，此后委员们才确认H4达到了法案规定的最严格精度要求。(rmg.co.uk)

天文测定经度的方法与航海计时器同步发展。在月距法中，将实测的月球与太阳或某颗适当恒星之间的角距离，与基准子午线上预测的角距离进行比较。这样，月球位置的变化便可提供基准时间，无须依靠钟表在整个航程中持续保持这一时间。内维尔·马斯基林于1765年获任皇家天文学家，他组织了相关计算与出版工作，使这一方法更便于在海上使用。(rmg.co.uk) 首部《航海历与天文星历》于1766年出版，提供1767年的数据，其中包括以三小时为间隔编列的月距表。这些表格减轻了航海者的计算负担，而其采用的格林尼治基准，也有助于确立这条子午线在航海实践中的地位。(aa.usno.navy.mil)

1884年10月在华盛顿哥伦比亚特区举行的国际子午线会议，选定穿过格林尼治天文台中星仪的子午线作为共同的本初子午线。表决结果为22票赞成、1票反对，法国和巴西弃权。当时已有的实践为这一选择提供了有力支持：提交给会议的一份航运统计表显示，采用格林尼治基准导航的船只占船只总数的65%，占航运总吨位的72%——这是两个不同的指标，后来的叙述有时会将它们混为一谈。会议还建议，经度向东、向西分别计至 180∘180^\circ，并提议设立世界日，以格林尼治平午夜为起点，小时数从零计至二十四。会议决议明确保留了在适当情况下使用地方时或其他标准时间的做法，并未强制规定全球民用时区的边界体系。(gutenberg.org)

地图投影与地理空间应用

地图投影将参考球面或椭球面上的地理坐标 (φ,λ)(\varphi,\lambda) 转换为平面坐标，通常以东向坐标和北向坐标表示。其正算方程的一般形式为 x=f(φ,λ)x=f(\varphi,\lambda)、y=g(φ,λ)y=g(\varphi,\lambda)；在投影可逆的情况下，可通过反算恢复经纬度。这些方程取决于中央子午线、原点纬度、比例因子和坐标偏移量等参数。经纬网由投影后的纬线和经线组成，而投影坐标网由东向坐标或北向坐标保持不变的线组成，通常以米或英尺标注。两者是不同的框架：弯曲的经纬网线可以与矩形坐标网相交。PROJ 的 proj 和 invproj 程序分别实现投影正算和反算；更改所依据的大地基准则是另一项独立操作。(ngs.noaa.gov)

正轴圆柱墨卡托投影将经线表示为等间距的竖直直线，将纬线表示为水平直线，纬线间距向两极逐渐增大。对于半径为 RR 的球体，若中央子午线为 λ0\lambda_0，赤道上的比例尺无变形，且角度以弧度表示，则其方程为 x=R(λ−λ0)x=R(\lambda-\lambda_0) 和 y=Rln⁡tan⁡(π/4+φ/2)y=R\ln\tan(\pi/4+\varphi/2)。墨卡托投影是一种等角投影：它保持角度和无穷小图形的形状，而不保持面积。其局部长度比例因子为 1/cos⁡φ1/\cos\varphi，因此在纬度 60∘60^\circ 处，相对于赤道上的比例尺，长度放大为两倍，局部面积放大为四倍。恒定航向的航线，即恒向线，在图上呈直线；这一性质解释了墨卡托投影为何广泛用于海图。(proj.org)

圆锥投影和方位投影的经纬网布局有所不同。在正轴兰伯特等角圆锥投影中，经线是汇聚于同一点的直线，纬线则是同心圆弧。在采用两条标准纬线的形式中，所选纬线上的比例尺无变形，因此适合主要沿东西方向延伸的中纬度地区；离这些纬线越远，变形越大。在球面极地方位等距投影中，经线从极点向外辐射，纬线则构成等间距的同心圆。自中心点量得的距离和方位角保持不变，但任意两个非中心点之间的距离并不保持不变。因此，保持角度、面积或特定距离，需要采用不同的投影几何形式，而不存在一种普遍适用、完全无变形的布局。(pro.arcgis.com)

实际应用中，往往保留地理坐标来标识位置，同时使用投影坐标进行显示或局部计算。例如，美国国家海洋和大气管理局（NOAA）的海图信息报送界面接受 36.729142N 122.204318W 这样的坐标，也接受以度和十进制分表示的位置。对于测量和工程应用，美国州平面坐标系最初于20世纪30年代建立，提供区域性的等角投影和平面坐标；NOAA 的 SPCS83 软件可在 NAD 83 基准下的经纬度位置与州平面东向、北向坐标之间进行转换。卫星导航软件同样将位置确定与坐标显示分开处理。Garmin 的 GPS12MAP 手册提供经纬度、UTM/UPS 和区域坐标网等显示选项：选择坐标网改变的是位置的表示方式，而不是所接收的卫星信号。(nauticalcharts.noaa.gov)

在地理信息系统中，地理坐标还提供了一种不依赖特定投影显示方式的数据交换表示。2016年8月发布的 RFC 7946 规定，GeoJSON 的位置坐标采用 WGS 84 下的十进制度数，并按经度在前、纬度在后的顺序排列。科学网格数据集则需要额外的结构。规则经纬度网格可以使用相互独立的一维坐标轴，但投影网格或曲线网格可能需要二维辅助数组 lat(j,i) 和 lon(j,i)，以确定每个水平网格点的位置。CF 约定以一个温度数组 T(lev,yc,xc) 为例说明了这种做法：该数组有18个垂直层和一个 64×12864\times128 的水平网格，其 coordinates 属性将测量值与经纬度数组关联起来。投影坐标 xc 和 yc 可以与这些数组一同保留，使软件既能通过网格坐标，也能通过地理位置访问同一组样本。(rfc-editor.org)

精度、奇点与解读错误

显示的小数位数反映的是坐标数值表示的分辨率，而非其定位准确度。准确度关乎测得的位置与实际位置的一致程度；增加位数并不意味着测量不确定度更小。例如，将纬度四舍五入到小数点后五位，步长为 0.00001∘0.00001^\circ，在地面上约合 1.11 米，南北方向上的最大舍入位移约为 0.56 米。这些是计算得出的舍入误差界限，并不保证原始观测具有相应的准确度。采用球面近似时，对应的东西方向步长为 1.11cos⁡φ1.11\cos\varphi 米：在赤道上约为 1.11 米，在纬度 60∘60^\circ 处约为 0.56 米，在纬度 80∘80^\circ 处约为 0.19 米。因此，相同的经度位数在不同纬度代表不同的地面分辨率。给米级准确度的观测值补上末尾零，并不能使其达到厘米级准确度。(jcgm.bipm.org)

两极是坐标奇点，因为所有子午线都在此汇聚。在纬度 +90∘+90^\circ 或 −90∘-90^\circ 处，改变经度并不会指向另一个地表位置。在单位球的表示中，x=cos⁡φcos⁡λx=\cos\varphi\cos\lambda 和 y=cos⁡φsin⁡λy=\cos\varphi\sin\lambda 均为零，因此无论 λ\lambda 取何值，得到的都是同一个极点。所以，即使数据格式存储了一个约定的数值，极点处的经度也没有唯一的几何值。在极点附近，经度的大幅变化可能只对应很小的位移；反过来，一条从极点附近经过的短路径，其沿途经度也可能迅速变化。这是角坐标表示方式的局限，并非地球表面存在物理上的不连续。地心笛卡尔坐标可以避免这种特定的歧义。(oc.nps.edu)

经度在对向子午线处也存在表示上的不连续：+180∘+180^\circ 和 −180∘-180^\circ 表示同一条子午线。因此，东经 179∘179^\circ 和西经 179∘179^\circ 的两个位置，沿较短角度区间的差值为 2∘2^\circ，而不是普通减法得到的 358∘358^\circ。它们在圆周上的中点位于对向子午线上，而非格林尼治。数字化几何对象需要明确处理这种环绕回接。2016 年 8 月发布的 RFC 7946 建议，将跨越对向子午线的 GeoJSON 几何对象切分为不跨越该线的若干部分，并在适当情况下采用多部分几何类型。其中给出的斐济边界框示例 [177.0, -20.0, -178.0, -16.0]，虽然东侧经度的数值小于西侧经度，但其经度跨度为 5∘5^\circ。将这些边界值重新排序，则会得到互补的 355∘355^\circ 跨度。(oc.nps.edu)

坐标顺序和正负号即使出错，仍可能符合语法要求。GeoJSON 采用经度在前、纬度在后的顺序：[-73, 40] 表示西经 73∘73^\circ、北纬 40∘40^\circ。将其颠倒为 [40, -73]，得到的则是另一个仍然有效的位置。同样，漏掉西经或南纬的负号，会改变所在半球，却不一定使数值超出坐标范围。(rfc-editor.org) 大地基准不兼容会造成另一类错误：数值被放在错误的参考框架下解读。美国国家海洋和大气管理局（NOAA）下属的国家大地测量局记录表明，在美国各地，NAD 27 与 NAD 83 最初的 1986 年实现之间存在数十米的系统性偏移。只修改数据集的大地基准标签而不转换坐标，并不会对这些偏移作出修正。精确的记录还会注明参考框架的具体实现和坐标历元，因为坐标可能随时间变化。(geodesy.noaa.gov)

第三个坐标还会带来另一种可能的误读：椭球高不能与相对于垂直基准的高程混用。GeoJSON 的可选高度值以米为单位，相对于 WGS 84 参考椭球测量。(rfc-editor.org) 对于相互兼容的高度参考系统，通常采用的关系式为 H=h−NH=h-N，其中 hh 为椭球高，HH 为正高，NN 为大地水准面高。NOAA 给出了一个海岸附近的示例：H=+1H=+1 米、h=−30h=-30 米，对应 N=−31N=-31 米。因此，椭球高为负值并不一定意味着该位置低于海平面。高度转换取决于适用的大地水准面模型和基准定义，而不是一个通用的固定偏移量。(geodesy.noaa.gov)

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