时间序列是按照发生时间排列的一系列观测值。例如，每月大气中的二氧化碳浓度、每日销售额，以及工业生产过程中采集的测量值。在统计学中，时间序列分析研究这类记录中的变化规律和依赖关系。与将观测值视为可互换的方法不同，时间序列分析保留观测值的时间顺序，因为较早与较晚的数值之间可能因持续性、趋势或反复出现的波动而相互关联。(itl.nist.gov)
表示方式与时间结构
离散时间序列通常写作 ，其中下标标识连续的观测时点。许多标准方法假定观测按等时间间隔进行，例如每小时的读数或每月的总量。在这一假设下，时间戳可以由下标隐含表示，但实际采样间隔对于解释结果仍然很重要。对于时间间隔不规则的观测，需要采用能够考虑不等时间间隔的方法。(itl.nist.gov)
单变量序列在每个时点记录一个量；多变量分析则同时考察多个量。统计建模区分实际观测记录与生成这些记录的底层随机过程。在这一表述中，观测值是以时间为索引的随机变量的实现值，模型描述的是它们在时间上的依赖关系，而不只是各自的分布。(itl.nist.gov)
采样间隔决定了哪些变化规律能够被观察到。例如，每月观测可以揭示年度季节性，却无法直接分辨一天之内的变化。因此，时间序列图是探索性数据分析的重要起点：在拟合模型之前，它可以揭示水平和变异程度的变化、异常观测值以及反复出现的模式。(itl.nist.gov)
趋势、季节性与分解
时间序列可能包含长期的趋势、反复出现的季节性以及不规则的余项。季节性与已知的重复周期相联系，例如一周或一年。周期性波动则未必具有固定的持续时间；分解方法通常将这类波动与趋势合并为趋势—周期分量。(otexts.com)
加法分解将观测值表示为
其中， 为趋势—周期分量， 为季节分量， 为余项。当季节性波动的幅度大致恒定时，适合采用这种形式。乘法形式 则用于描述波动幅度随序列水平成比例变化的情况。对于正值数据，对数变换可以将乘法关系转换为加法关系。(otexts.com)
去除估计得到的季节分量，即可得到季节调整后的数据。这些数据仍然包含不规则变化，不应与底层趋势混为一谈。分解描述的是观测值中的变化规律，本身并不能解释产生这些规律的机制。(otexts.com)
依赖关系与平稳性
自相关衡量一个序列与其自身滞后值之间的关系。滞后阶数 对应比较相隔 个采样间隔的观测值。对于等时间间隔的观测，一种常用的样本估计为
自相关图展示不同滞后阶数下的这些估计值，有助于识别持续性、振荡以及候选模型结构。正自相关表示，相隔指定滞后阶数的观测值往往会沿同一方向偏离均值。(itl.nist.gov)
许多模型假定序列具有平稳性。在弱平稳或协方差平稳的意义下，一个过程具有恒定的期望值、有限且恒定的方差，其协方差只取决于滞后间隔，而不取决于观测的绝对时点。平稳性并不意味着独立性：平稳过程仍然可以具有很强的时间依赖关系。趋势、变化的变异程度以及确定性的季节模式都可能违反这些假设。(itl.nist.gov)
差分用变化量替代原始水平值，例如 。季节差分比较相隔一个季节周期的观测值。这些变换可以消除特定形式的非平稳性；对数变换或其他变换则可能使变异程度趋于稳定。它们是否适用，取决于所研究的序列和拟采用的模型。(itl.nist.gov)
统计模型与机器学习模型
自回归模型根据同一序列的先前值预测当前值。移动平均模型则通过当前及先前的随机新息来表示当前值。这里的“移动平均”指一种随机模型，而不只是滚动计算的算术平均。将自回归项与移动平均项结合，可得到 ARMA 模型；再引入差分，便得到 ARIMA 模型。(itl.nist.gov)
ARIMA 模型侧重于自相关结构。指数平滑提供了一种互补的方法，以随时间演变的水平、趋势和季节分量为基础。模型识别可以借助时间序列图、自相关和偏自相关；信息准则则在对复杂度施加惩罚的同时比较拟合效果。选定模型之后，仍需进行诊断检验。(otexts.com)
机器学习提供了其他预测建模方式。滞后观测值可以作为监督学习中的预测变量，而人工神经网络则学习这些输入与后续值之间的非线性关系。没有隐藏层的网络可以实现线性回归；隐藏层则使网络能够表示更复杂的映射关系。(otexts.com)
预测评估
预测评估将拟合与预测分开。在滚动起点交叉验证中，每次预测仅使用目标时点之前已经获得的观测值。随后，预测起点向前移动，从而进行多次评估。根据预期的预测跨度，这一过程可以评估单步预测或多步预测。(otexts.com)
按时间顺序划分训练数据和测试集，可以防止未来观测值影响较早时点作出的预测；这种影响属于一种数据泄漏（机器学习）。准确性可以用均方误差、其平方根或绝对误差指标来衡量。根据拟合残差计算的误差并不等同于真正的样本外预测误差，因为拟合模型时已经使用了这些观测值。(otexts.com)