{
  "id": "pi",
  "title": "圆周率",
  "lang": "zh-Hans",
  "source_lang": "en",
  "summary": "圆周率（π）是圆的周长与直径之比，是一个无理数和超越数，广泛出现在数学、科学与计算领域。",
  "category": "mathematics",
  "subcategory": "geometry",
  "type": "concept",
  "aliases": [
    "圆周常数",
    "鲁道夫数"
  ],
  "generated_at": "2026-10-07",
  "model": "pro/claude-haiku-5-5",
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    "en": {
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  "sections": [
    {
      "heading": "",
      "text": "圆周率写作 π，是任意圆的周长除以其直径所得的常数。它的数值以 3.14159 开头，小数位无限延续且不循环。由于它是无理数且是超越数，既不能写成分数，也不能作为任何有理系数多项式的根。它的重要性在于将圆与数学分析、三角学、概率和物理学联系在一起，因此它会出现在一些看似与圆毫无关系的公式中，例如正态分布的归一化，或由幂级数倒数构成的巴塞尔和。\n\n本词条追溯了这一常数的发展历程：从巴比伦、埃及、希腊、中国和印度数学中最早的近似值，到十七至十九世纪的无穷级数与无穷乘积，再到证明其无理性和超越性的过程，直至现代借助超级计算机和基于复分析恒等式的算法竞相计算数万亿位小数的努力。随后讨论其数字是否表现得像随机序列这一悬而未决的问题，以及该常数在微积分、几何、概率和物理学中的作用、该符号的记法历史、它在浮点运算中的处理方式，以及它在大众文化中的地位。词条最后列出尚未解决的问题。"
    },
    {
      "heading": "定义与基本数值",
      "text": "在欧几里得平面几何中，π 被定义为圆的周长 \\(C\\) 与其直径 \\(d\\) 之比，即 \\(\\pi = C/d\\)。只有当这一比值对所有圆都相同时，这个定义才有意义，而相似性保证了这一点。任意两个圆都是相似的：通过平移、旋转和均匀缩放，可以将一个圆映射到另一个圆上。缩放会把每个长度乘以同一个因子，因此周长与直径同时变化，其商保持不变。几何原本（第十二卷）证明了圆的面积之比等于直径平方之比，但没有给出周长与直径之比的数值。由于这个比值是无量纲的，π 在任何长度单位制下都取相同的值。\n\nπ 的十进制展开式以 \\(\\pi \\approx 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510\\) 开头，小数点后五十位数字如上所示。由于 π 是无理数，这一展开式既不会终止，也不会循环。实际计算中，常用两个分数作为近似值。分数 \\(22/7 \\approx 3.142857\\) 与 π 相差约 \\(1.26 \\times 10^{-3}\\)，因此仅精确到小数点后两位左右。分数 \\(355/113 \\approx 3.14159292\\) 与 π 相差约 \\(2.7 \\times 10^{-7}\\)，与 π 在小数点后六位一致。两者都是有理数，而如此简短的分数便能如此接近，是说明无理数的有理逼近可以有多好的标准例子。\n\n该常数也通过面积和角度的度量出现。半径为 \\(r\\) 的圆面积为 \\(\\pi r^2\\)。对于单位圆，即 \\(r = 1\\)，面积恰好为 \\(\\pi\\)。半径为 \\(r\\) 的圆周长为 \\(2\\pi r\\)，因此单位圆的周长为 \\(2\\pi\\)，其一半，即半圆的弧长，为 \\(\\pi\\)。这就是为什么 π 常被描述为沿单位圆转过半圈所走过的距离。\n\n同一关系也确定了 π 与角之间的联系。在三角学中，以弧度度量的角，就是它在单位圆上所截取的弧长。因此一整圈对应弧长 \\(2\\pi\\)，即一整圈等于 \\(2\\pi\\) 弧度，半圈等于 \\(\\pi\\) 弧度，直角等于 \\(\\pi/2\\) 弧度。由于 \\(360^\\circ\\) 对应 \\(2\\pi\\) 弧度，一弧度等于 \\(180^\\circ/\\pi\\)，约为 \\(57.3^\\circ\\)。这就是当以弧度表示角度量（如角速度）时，该常数频繁出现的原因；后面关于分析与物理学的章节会进一步展开这一点。"
    },
    {
      "heading": "无理性与超越性",
      "text": "无理性\n\n第一个严格证明 π 是无理数的是约翰·海因里希·兰伯特。各种资料对年代的记载并不一致：一种说法是他在 1761 年的论文中给出了这一论证，而 MacTutor 则将他向柏林科学院陈述这一结果的时间定为 1768 年。兰伯特于 1761 年在其著作《关于圆与对数超越量若干显著性质的研究》（Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques）中展示了这一结果。在 1768 年提交给柏林科学院的一篇论文中，兰伯特证明：若 x 是非零有理数，则 e^x 与 tan x 都不可能是有理数。\n\n他的方法是把三角幂级数之比展开为连分数。从正弦和余弦级数出发，他对其应用欧几里得算法，得到 tan r 的一个展开式，其中每个部分分母都是关于 r² 的简单线性式或二次式。随后他证明，在该展开式所满足的符号条件下，其尾部永远不会终止，因此只要 x 是非零有理数，tan x 就是无理数。对 π 的结论由一个具体值推出：tan(π/4) = 1 是有理数，所以 π/4 不可能是有理数，从而 π 也不是有理数。后来的学者给出了同一结论更简便的证明路线。伊万·尼文（Ivan Niven）与夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）的思路得出了更短的证明，而米克洛什·拉奇科维奇（Miklós Laczkovich）证明，兰伯特关于 tan x 的连分数可以由超几何函数导出，使论证更为简洁。\n\n超越性\n\n无理性只说明 π 不是整系数一次方程的根。更强的结论是：π 不是任何非零整系数多项式的根，这一点使 π 成为超越数。这一证明来自一系列结果的积累。1873 年，夏尔·埃尔米特证明了 e 是超越数，但几乎所有关于 π 超越性的证明都用到了 e 的超越性，因此埃尔米特的结果是必不可少的第一步。费迪南德·冯·林德曼（Ferdinand von Lindemann）改进了这一方法，并于 1882 年证明了 π 是超越数。\n\n最重要的实际后果涉及几何。与单位圆面积相等的正方形边长为 √π，而只有当一个长度是有理数域上某个代数方程的根时，才能用圆规和直尺作出该长度。由于 π 是超越数，古典的\"化圆为方\"问题在这些工具下无解。这一点可由欧拉恒等式 e^{iπ} = −1 推出，它等价于仅用直尺和圆规不可能化圆为方，而这个问题曾悬而未决两千多年。\n\n这一论证依赖于林德曼–魏尔斯特拉斯定理。1885 年，卡尔·魏尔斯特拉斯成功证明了比埃尔米特和林德曼的特例更为一般的结果。该定理通常表述为：若 α₁, …, αₙ 是两两不同的代数数，则指数 e^{α₁}, …, e^{αₙ} 在代数数域上线性无关。假设 π 是代数数，那么 iπ 也是代数数：若 π 是多项式 p 的根，则 iπ 是多项式 p(ix)p(−ix) 的根，因此同样是代数数。将该定理应用于两两不同的指数 iπ 与 0，就会排除代数关系 e^{iπ} + 1 = 0；而这一关系恰好成立，因此产生矛盾。由此可知 π 是超越数。\n\n相关常数的未解问题\n\n已知 π 是超越数，并不能确定 π 与其他著名常数组合后的性质。πe 与 π + e 中至少有一个（很可能两个都）是超越数，但单独来看，这两个数的超越性都尚未得到证明。和 π + e 在文献中被描述为数论中的一个长期难题。一些特例已经解决：例如，格尔丰德定理证明 e^π 是超越数，因为 e^π = (−1)^(−i)。\n\n无理性测度能更精细地刻画 π 被有理数逼近的程度。无理性测度 μ(x) 是满足下式的最小指数：对所有足够大的 q 与所有 ε > 0，都有 |x − p/q| > q^(−μ−ε)。不难看出 e 的无理性测度为 2，但 π 的精确无理性测度仍未知。第一个上界 42 由库尔特·马勒（Kurt Mahler）于 1953 年证明。弗拉迪斯拉夫·萨利霍夫（Vladislav Salikhov）给出的上界 7.606308 于 2008 年公布。2019 年，多伦·泽尔伯格（Doron Zeilberger）与瓦吉姆·祖迪林（Wadim Zudilin）改进了萨利霍夫的方法，证明 μ(π) 至多为 7.103205334137；一篇 2026 年的 arXiv 预印本报告了一个略小的上界 μ(π) < 7.101862832357。π 的下界要弱得多：目前已知最好的下界仅为 2，而所有无理数都满足这一下界。真实值是否为 2，仍是未解之谜。"
    },
    {
      "heading": "古代的近似值",
      "text": "已知最早的圆周率数值来自美索不达米亚和古埃及。它们是测量田地、谷仓和水池的实用规则，而不是对某个抽象常数的表述。这些资料的年代并不确定，因此下面给出的数值应视为近似值。\n\n巴比伦的计算大多依赖一个粗略的数值。在一些文献中，周长被认为是直径的 3 倍，但苏撒出土的一块泥板则基本采用 25/8 = 3.125。苏撒泥板通过比较内接正六边形的周长与圆周长得出这个数值，它可能是巴比伦数学中争议最大的常数之一。这一推理一经说明便很简单。圆内接正六边形的周长等于六个半径，因此单纯的比较总是得到 3。若按泥板所示，六边形周长与圆周长之比为 24/25，于是修正后得到 3/π = 24/25，从而 π = 25/8。泥板的年代同样存在争议。约公元前 1900 至 1600 年的楔形文字泥板给出了由六边形推导出的圆周率数值。现存的大多数巴比伦数学泥板则较晚，年代为公元前 1800 至 1600 年。\n\n埃及的证据则更为明确。莱因德纸草给出了圆形田地面积的计算方法：从直径中减去九分之一，再将余数平方，得到 256/81，约为 3.16045。若将直径写作 2r，该规则给出 (8/9 · 2r)² = (256/81)r²，因此隐含的数值为 π ≈ 256/81 ≈ 3.1605。分数 256/81 把 π 近似为 3.1605…，误差不到百分之一。其做法是把圆面积近似为一个边长等于直径九分之八的正方形面积。同样的数值也出现在莫斯科数学纸草中，并被用来定义一个体积单位。莫斯科数学纸草中的 hekat 单位，便是通过将 π 近似为约 3.16 来定义的。关于纸草的年代，各家说法也不一致：一种来源将其定为约公元前 1650 年，另一种则定为公元前 1700 年，而一则通俗记述则认为埃及的这一数值可追溯到公元前 2000 年。埃及的做法也并不统一。在莱因德纸草第 38 题（RMP 38）中，抄写员阿默斯曾以 22/7 作为圆周率的估计值，非正式地修正了谷物的损耗。\n\n《圣经》中的记载是较弱的证据。《列王纪上》7:23 描述了所罗门的青铜水池，直径为十肘，周长为三十肘，由此隐含 π = 3。肘通常指从肘部到中指指尖的长度，不同文化之间可能略有差异；而古代大型器物的测量，为便于记录，通常以整数单位计。因此，这段经文反映的是粗略的测量，而非经过计算的常数。后来有人在文本中寻找精确数值，例如马蒂亚胡·蒙克（Matityahu Munk）在 1962 年提出的基于数值化（gematria）的比值，这些都是现代的诠释，并不能证明古人掌握了这一知识。其中编码的数值 111/106 是 π/3 的一个高精度近似。印度的材料同样难以定年。《绳法经》（Shulba Sutras）是关于祭坛建造的文献，通常被归于公元前一千纪，而一种通俗的概述将 π 表示为 (9785/5568)² ≃ 3.088，不过这类二手数值应与学术版本核对。\n\n早期的方法受限于其工具。测量一个真实的水池、绳子或车轮，只能得到寥寥几位可靠数字；而六边形的方法若不增加多边形的边数，则必然得到 3。希腊数学改变了这一问题。关于圆的第一批定理被认为是泰勒斯在约公元前 650 年提出的。欧几里得《几何原本》第三卷讨论圆的性质，以及圆内接与圆外切多边形的问题。希腊几何学家还研究了求作与给定圆面积相等的正方形的问题。决定性的一步，是用经过证明的界限取代测量得到的数值。阿基米德是第一位以这种方式约束 π 的数学家，他计算出了 π 的上界和下界。他的多边形方法在阿基米德词条中有所描述，这标志着几何传统的开端，下一节将对此进行讨论。"
    },
    {
      "heading": "经典几何方法",
      "text": "在认识无穷级数之前，确定 π 最可靠的办法是几何方法。圆的周长夹在圆外和圆内的正多边形周长之间，随着多边形边数增加，这个夹逼范围越来越窄。希腊、中国、波斯和欧洲的数学家都用这一思路，把 π 的精度从几个百分点提高到许多位小数。二千年来，这一多边形框架一直主导着人们寻找更精确界值的努力。\n\n阿基米德\n\n约公元前三世纪，叙拉古的阿基米德研究了圆的外切和内接正多边形。他从正六边形开始，反复将边数加倍，依次得到正十二边形、二十四边形、四十八边形，最后是九十六边形。对每个多边形，可以利用勾股定理由上一步的边长求出本步的边长，再由周长得到界值：内接多边形的周长小于圆周长，外切多边形的周长大于圆周长。最终结果是 223/71 < π < 22/7，即约 3.1408 < π < 3.1429。后来，上界 22/7 被称为\"阿基米德常数\"，不过阿基米德本人并没有把它当作 π 的值来提出。\n\n他的计算非常繁重，因为每次加倍都需要手工估算平方根。现代分析表明，九十六边形的精确周长给出的区间比阿基米德所陈述的略窄，因为他对平方根所取的有理界值使结果变得宽松了一些。每次加倍大约使误差缩小为原来的四分之一，因此这一方法稳定可靠，但每获得一位小数都要付出较大代价。\n\n刘徽与穷竭法\n\n三世纪三国时期，刘徽为《九章算术》作注，其中包含了用正多边形逼近圆的方法。他认为，随着多边形边数增加，内接多边形的面积趋近于圆面积，这种推理有时被称为穷竭法。刘徽首先指出，内接正六边形的周长与直径之比为三，由此可推知 π 必大于 3；随后他利用正九十六边形得到界值，并提出 157/50 作为可用的近似值，同时承认它略微偏小。\n\n他later and更重要的贡献，是一种以面积而非周长为对象的更快方法，从而避免了反复开平方。他还用矩形来估计超出部分的面积，使其上界比阿基米德的更为精确。用正三千零七十二边形，他得到 3.14159；有些资料还认为他用正九十六边形配合这一快速方法得到了 3.1416。关于这些数值的归属，各家说法不一，因此对他具体计算步骤的理解应当谨慎。\n\n祖冲之\n\n五世纪，刘宋和南齐时期，祖冲之（429–500）以远超前人的标准运用了多边形方法。据《隋书》记载，他证明了 π 介于 3.1415926 与 3.1415927 之间，这一界值近九个世纪内无人超越。一般认为，他的计算使用了内接正二万四千五百七十六边形，并处理了数百次平方根运算，精确到约九位小数。\n\n他还给出了两个有理近似值：22/7，他称之为\"约率\"；355/113，他称之为\"密率\"。分数 355/113 精确到六位小数，并且是分母不超过四位数的 π 的最佳有理近似。关于他的具体方法，学界仍有争议。他的著作《缀术》已经失传，因此历史学家无法确定他是如何从小数界值得出 355/113 的。一些学者认为他可能使用了其同时代人何承天所归属的分数插值技术，但也有人怀疑这一重构是否可靠。后来的注释者赵友钦据称用正一万六千三百八十四边形对这一区间进行了检验，这表明中国的传统一直在多边形方法的基础上不断发展。\n\n阿尔·卡西与欧洲的多边形计算\n\n十五世纪，波斯数学家阿尔·卡西在撒马尔罕工作，他在《圆周论》（约1424年）中将 2π 计算到六十进制的十六位，约相当于二十八位十进制小数。他使用了约 3 × 2²⁸ 边的多边形，并仔细处理了算术运算。这是当时最精确的数值，远远超出了阿基米德方法所能达到的范围。\n\n十六世纪末至十七世纪初，欧洲人也投入了这项工作。卢道夫·范·科伊伦花费多年进行多边形计算，得到约三十五位小数。这一结果在他去世后才发表，人们常提到它被刻在他的墓碑上。克里斯托夫·格林贝格尔（Christoph Grienberger）于1630年用边数极多的多边形得到约三十八或三十九位小数，但各家对确切位数的说法不一。多边形方法的纪录在1699年被打破，无穷级数方法得出了多得多的位数。\n\n多边形方法的局限\n\n多边形方法有结构性的弱点：边数每加倍，误差大约只缩小为原来的四分之一，因此每多获得一位正确的小数，所需的工作量都比上一位大得多。阿基米德止步于九十六边形，而阿尔·卡西等人的纪录则需要极其庞大的计算量。刘徽的面积技术以及后来对无穷级数的运用，说明同一问题可以从不同角度来攻克；但只有十四世纪以后发展起来的级数方法，才使高精度计算真正变得可行。"
    },
    {
      "heading": "无穷级数与无穷乘积",
      "text": "关于π的最早无穷表达式来自印度。由桑加马格拉的马达瓦（约1340年至约1425年）创立的喀拉拉天文数学学派，利用反正切函数的幂级数求出了π。在反正切级数中令自变量为1，可得 \\(\\pi/4 = 1 - \\tfrac{1}{3} + \\tfrac{1}{5} - \\tfrac{1}{7} + \\cdots\\)。马达瓦本人的著作已经失传，他的结果主要通过后来的喀拉拉学者保存下来，例如尼拉坎塔·索摩耶（Nilakantha Somayaji）以及约1530年的马拉雅拉姆语著作《Yuktibhāṣā》。各种文献对他算出了多少位数字的记载并不一致。传统上最普遍被归于他的数值是3.14159265359（小数点后十一位）。同一级数在十七世纪传入欧洲，通常被称为格雷戈里–莱布尼茨级数。它的各项正负交替，收敛很慢，取前 \\(n\\) 项后的误差大约为 \\(1/(2n)\\)。因此，要得到十位正确数字，大约需要数十亿项，这使它不适用于高精度计算。喀拉拉学派通过加入修正项来解决这一问题，而格雷戈里–莱布尼茨级数正是这一方法的基本组成部分。\n\n弗朗索瓦·韦达（François Viète）在1593年给出的公式，通常被认为是欧洲数学中第一个无穷乘积，也是第一个精确的解析表达式。它写作 \\(\\frac{2}{\\pi} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\cdot\\frac{\\sqrt{2+\\sqrt{2}}}{2}\\cdot\\frac{\\sqrt{2+\\sqrt{2+\\sqrt{2}}}}{2}\\cdots\\)。韦达是法国律师，也是业余数学家，他是通过反复使用余弦的半角（倍角）公式推导出这一结果的。这实际上等价于对嵌套多边形的面积或周长取一个可相消的乘积。它的收敛只是线性的，因此更多是一个历史性的里程碑，而不是实用的计算方法。韦达本人计算π到小数点后九位时，用的是阿基米德的多边形方法，使用了一个393,216边形。\n\n约翰·沃利斯（John Wallis）在1655年的《无穷算术》（Arithmetica Infinitorum）中发表了他的乘积公式。它表明 \\(\\frac{\\pi}{2} = \\frac{2}{1}\\cdot\\frac{2}{3}\\cdot\\frac{4}{3}\\cdot\\frac{4}{5}\\cdots\\)。沃利斯是通过对正方形与其外接圆面积之比的一个数值表格进行插值得到它的，而他本人无法严格证明这一过程。现代教科书则通过积分 \\(\\int_0^{\\pi/2}\\sin^n x\\,dx\\) 来证明这一乘积，其关键在于相邻两项的比值趋近于1。沃利斯乘积的收敛速度快于韦达的公式，但对于计算大量数字而言仍然太慢。它的重要性在于表明π可以写成有理因子的极限，这为下一个世纪微积分和极限理论的发展奠定了基础。\n\n反正切级数真正用于计算，要归功于1706年的马钦公式。约翰·马钦（John Machin）证明了 \\(\\frac{\\pi}{4} = 4\\arctan\\frac{1}{5} - \\arctan\\frac{1}{239}\\)。由于两个反正切的自变量都很小，它们对应的级数收敛很快。马钦利用这一恒等式用手工计算出了π的100位数字。十八和十九世纪的后继计算者沿用同样的思路，选取其他反正切项组合进行计算。威廉·尚克斯（William Shanks）在1873年用这一方法公布了707位数字，但二十世纪发现其中有一处错误，这说明长篇手算的结果是很难核验的。\n\n这些级数体现了圆周率计算史中贯穿始终的一条一般原则：级数的自变量越接近零，级数收敛得越快。格雷戈里–莱布尼茨级数、韦达和沃利斯的乘积公式，以及马钦型公式，都建立在相同的三角函数和幂级数基础之上。它们在速度上的差异，解释了为什么二十世纪它们被专为机器上的数值分析而设计的公式和算法所取代。"
    },
    {
      "heading": "拉马努金型公式与快速收敛公式",
      "text": "1914年，斯里尼瓦萨·拉马努金写下了十七个关于 \\(1/\\pi\\) 的级数，这些求和式后来成为数字计算领域的典范。相关综述文献涵盖了这些公式的证明方法，以及后来发现的一些推广形式，其中有些至今尚未被证明。他最著名的例子是 \\[\\frac{1}{\\pi} = \\frac{2\\sqrt{2}}{9801}\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{(4n)!\\,(1103+26390n)}{(n!)^4\\,396^{4n}}.\\] 此类公式中的平方根位于常数前置因子中，而不在求和项内。该级数的每一项大约增加8位精度。按当时的标准，这已经很快，但与后来的方法相比仍然慢得多。拉马努金很少写出证明的细节，第一批严格的推导是由博尔温兄弟完成的。后续工作把这一模式推广为若干族级数，例如拉马努金–佐藤级数。近期的构造报告了高得多的单项产出，一篇 arXiv 预印本估计，某个此类新级数每一项可得约153位数字。\n\n丘德诺夫斯基公式\n\n拉马努金工作最重要的后继成果是丘德诺夫斯基公式。大卫·丘德诺夫斯基与格雷戈里·丘德诺夫斯基兄弟基于拉马努金关于模方程和超几何级数的思想建立了这一公式。丘德诺夫斯基兄弟提出了一个圆周率公式，其基础是拉马努金更早关于模方程和超几何级数的工作。它通常写作 \\[\\frac{1}{\\pi} = 12\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{(-1)^n\\,(6n)!}{(3n)!\\,(n!)^3}\\cdot\\frac{13591409+545140134\\,n}{640320^{3n+3/2}}.\\] 每一项可得略多于十四位正确的十进制数字；通常给出的数值是平均每次迭代得到14.1816位十进制数字。自1989年以来，它已被用于大多数世界纪录的计算。不同资料对该公式的提出年份说法不一：一种说法是1987年提出，另一种说法则指出它是丘德诺夫斯基兄弟于1988年发表的。\n\n但每项十四位数字本身并不意味着计算就很便宜。有一项分析指出，单独来看，丘德诺夫斯基级数的计算代价仍为 O(p²)，因为需要计算大量项，而每一项都涉及高精度算术。因此，严肃的实现通常采用丘德诺夫斯基二进制分割法，它以递归方式对各项分组，使大部分计算由大整数乘法完成。\n\n贝利–博尔温–普劳夫公式\n\n贝利–博尔温–普劳夫（BBP）公式由西蒙·普劳夫于1995年发现，并以发表该成果的论文作者大卫·H·贝利、彼得·博尔温和普劳夫命名。它是另一类不同的结果，其公式为 \\[\\pi=\\sum_{k=0}^{\\infty}\\frac{1}{16^{k}}\\left(\\frac{4}{8k+1}-\\frac{2}{8k+4}-\\frac{1}{8k+5}-\\frac{1}{8k+6}\\right).\\] 它的重要性在于数字提取，而不在于收敛速度：它可以导出一种溢出式（spigot）算法，在不计算前面各位的情况下，计算圆周率的第 n 位十六进制（基数16）数字。这也是该公式令人意外的原因，因为人们普遍认为，计算圆周率的第 n 位与计算前 n 位同样困难。该公式不能直接推广到十进制数字：它无法计算圆周率的第 n 位十进制（即基数10）数字。这一方法源于关于 \\(\\ln 2\\) 的一个观察，博尔温和普劳夫发现，二进制数字可以从任意起始位置开始计算。之后，法布里斯·贝拉德找到了一个比贝利–博尔温–普劳夫公式快约43%的公式。\n\n高斯–勒让德算法与布伦特–萨拉明算法\n\n另一条计算圆周率的途径来自算术–几何平均（AGM），而不是级数。高斯–勒让德算法由理查德·布伦特和尤金·萨拉明于1976年各自独立发表，从 \\(a_0=1\\)、\\(b_0=1/\\sqrt{2}\\)、\\(t_0=1/4\\) 和 \\(p_0=1\\) 出发，迭代如下 \\[a_{n+1}=\\frac{a_n+b_n}{2},\\quad b_{n+1}=\\sqrt{a_nb_n},\\quad t_{n+1}=t_n-p_n(a_n-a_{n+1})^2,\\quad p_{n+1}=2p_n.\\] 每一步之后，\\(\\pi\\) 的近似值为 \\((a_{n+1}+b_{n+1})^2/(4t_{n+1})\\)。该方法二次收敛，即每一步大致使正确位数翻倍，因此即使要求非常高的精度，也只需几十次迭代。代价是每一步都需要全精度的平方根和乘法运算，与丘德诺夫斯基级数相比，该算法每位数字的计算成本较高。出于这一原因，它更多被用作独立的校验手段，而不是纪录计算的主要方法。"
    },
    {
      "heading": "位数计算与纪录",
      "text": "从手工计算到电子计算机\n\n圆周率 \\(\\pi\\) 的位数纪录在1949年首次借助机器取得。冯·诺伊曼及其同事使用ENIAC计算出2037位数字，耗时70小时。这次运算在一定程度上是统计实验：约翰·冯·诺伊曼想知道，这些数字的分布能否用来衡量其随机程度。当时的硬件体积庞大而内存极小。这台机器占满一个房间，装有超过17000个电子管，但其全部内部存储只能容纳200位十进制数字。次年，乔治·赖特维斯纳使用ENIAC算出了 \\(\\pi\\) 和 \\(e\\) 的超过2000位小数。\n\n此后，随着每一代硬件的更新，位数不断增加。1973年，计算结果突破百万位。整个1980年代和1990年代，纪录先后推进到十亿位和万亿位。1989年，大卫和格雷戈里·丘德诺夫斯基兄弟在一台自制超级计算机上突破了十亿位，所用级数的收敛速度远快于早期公式。随后，日本东京的金田康正团队在接下来的二十年中保持了大部分时间的纪录，并在2002年借助经过大量优化的代码，在向量机和并行机上算到一万亿位。到2000年代末，纪录已达到数万亿位的低位区间。截至2010年1月，纪录约为2.7万亿位。同年晚些时候，近藤茂和亚历山大·易突破了五万亿位；2011年，近藤完成了约十万亿位的计算，耗时371天。\n\n云计算与集群时代\n\n2010年代末，商业和企业硬件开始接手这一纪录。2019年，谷歌计算出 \\(\\pi\\) 的31.4万亿位。2022年，谷歌云将位数推进到100万亿位，使用y-cruncher程序在大规模云实例集群上运行，移动的I/O数据量达数十PB。两次计算都依赖y-cruncher程序和丘德诺夫斯基公式：后者使算术运算变得很快，而存储与数据移动则成为主要限制。\n\n此后，独立团队接过了领先地位。StorageReview在2024年公布了自己的105万亿位和202万亿位结果。2025年5月，Linus Media Group与铠侠（Kioxia）宣布算出300万亿位。该计算运行在一个由2.2 PB铠侠PCIe NVMe固态硬盘组成的存储集群上，持续近七个半月。吉尼斯世界纪录正式认证了这300万亿位的成果。关于此前的吉尼斯纪录，资料来源说法不一：有的称为62万亿位，有的称为64万亿位。\n\n单台服务器完成的314万亿位计算\n\n最近的纪录由StorageReview创造。该计算使用一台2U规格的戴尔PowerEdge R7725服务器，配备两颗AMD EPYC 192核处理器，以及四十块61.44 TB的美光6550 Ion固态硬盘。作者认为，这一纪录的关键正在于存储层。40块硬盘中有34块分配给y-cruncher，为此次314万亿位的计算提供了约2.1 PB的空间。其余六块硬盘组成一个RAID 10卷，用于保存输出结果。计算连续运行了110天。其他报道给出的时长约为102天，或“近四个月”，因此具体时长因来源而异。StorageReview报告称，系统维持了约280 GB/s的带宽，以应对大量中间结果的读写。\n\n这些数字表明，现代纪录的限制因素已是数据移动，而非算术速度。中间结果的体积可能远大于最终的数字串，程序必须在数月之内反复写入、读取和校验这些数据。因此，整个运行过程的可靠性本身就是成果的一部分，存储带宽、内存布局和系统稳定性都会影响最终结果。\n\n验证\n\n计算得到的展开式只有可信才有用，因此每项纪录都要用第二种独立方法进行核对。通常的做法是用另一种公式或算法重新计算这些数字，并逐位比较结果。由于两种方法的失效模式很少重合，结果一致意味着硬件故障或软件错误几乎不可能被漏掉。贝利–博温–普劳夫公式等方法可以在不计算前面各位的情况下直接提取单个十六进制数字，适合用于这类抽查。大多数验证都以这种方式进行，而不是只相信某一次运行的结果。"
    },
    {
      "heading": "数字的正规性与统计性质",
      "text": "正规性猜想\n\n人们猜想圆周率是一个正规数。在十进制中，这意味着每个数字大约出现十分之一的次数，每个两位数字组合大约出现百分之一的次数，依此类推，因此长度为 \\(k\\) 的数字串的极限频率为 \\(10^{-k}\\)。如果一个数在某个给定的进制下，所有给定长度的数字序列都以相同的频率出现，那么它在该进制下就是正规的。这一性质要求很高：它要求在每一种块长度下都保持均匀分布，而不只是单个数字均匀分布。\n\n博雷尔（Borel）在1909年证明了几乎所有实数在每个进制下都是正规的，这一结论可由乘以进制数再取模 1 的遍历理论导出。正规数正是由博雷尔于1909年在一篇文章中引入的，他在文中证明了勒贝格测度意义下几乎所有的数在任意进制下都是正规的。这一结果属于测度论范畴，并不涉及任何具体的常数。对于圆周率而言，这一问题仍然悬而未决。构造显式的正规数并不困难，但目前还没有已知的\"自然\"超越常数被证明在每个进制下都是正规的。更基础的事实也未知：人们甚至不知道某个给定数字在圆周率的十进制展开中是否会无限次出现。高尔斯（Gowers）指出，数学家们普遍相信，从长远看每个数字约占展开式的十分之一，但没有任何证明或非形式化的论证支持这一信念。\n\n经验检验\n\n由于缺乏证明，数字计算的纪录便成为主要的证据来源。圆周率的新纪录计算常被用来对其正规性进行经验性的一致性检验。2016年，特鲁布（Trueb）的一项研究考察了前 22.4 万亿位十进制数字，统计了十进制和十六进制下长度为 1、2 和 3 的所有序列的频数。所有被评估的频率都与圆周率是正规数的假设相一致。同一计算还显示，相对于预期的二项分布方差，最大偏差仅约为 1.33 个标准差。更早的分析曾考察了小数点后前六十亿位，结果显示 0 至 9 中的每个数字大约各出现六亿次；这类计数通常使用卡方拟合优度检验进行评估。\n\n这些检验有明确的局限。有限的前缀只能支持或反驳有限样本下的均匀性，无法证明由无限极限定义的性质。通过一系列检验同样可能与某种隐藏结构相容，而这些检验并未被设计用来探测这种结构。与随机性相一致是证据，但不是证明。一些研究者提出了概率模型，认为像圆周率这样的常数的数字表现得如同独立的均匀随机抽样，这类模型可以推出正规性，但它们仍然只是猜想。\n\n其他进制与十六进制数字提取\n\n正规性依赖于进制。例如，数 1/3 在二进制下是简单正规的，但在通常的十进制下显然不是简单正规的，这说明了这一性质如何依赖于进制。在每个整数进制下都正规的数被称为绝对正规数。经验数据强烈表明，圆周率、自然对数的底 e、\\(\\log 2\\) 以及黄金比例等常数都是绝对正规的，然而对于这些数中的任何一个，人们从未给出其在任何进制下正规性的证明或反证。\n\n十六进制数字在这里起到了重要作用。贝利–博温–普劳夫（Bailey–Borwein–Plouffe）公式是一种 BBP 型公式，它可以从圆周率的任意位开始提取十六进制数字，而无需计算其前面的任何数字。这使得人们可以在展开式远处抽取十六进制数字块作为样本，而无需计算它们之前的全部数字，因此可以在原本无法触及的位置考察十六进制的统计性质。研究者还提出了一条证明路线：对于任何允许在 b 进制下存在 BBP 公式的超越常数，提出一种证明其在 b 进制下正规的方法。这一方向的作者指出，圆周率本身并未被已知结果所覆盖，因此该方法尚未解决圆周率的问题。\n\n值得注意的规律：费曼点\n\n最著名的局部规律是费曼点。费曼点是从圆周率小数点后第 762 位开始的连续六个 9。这一名称来源于物理学家理查德·费曼（Richard Feynman）的一句据称的话，据说他想把数字背到那一位，以便最后说一句\"等等\"（and so on）。这一说法存在疑点：目前尚不清楚费曼何时（甚至是否）说过这样的话，因为他的回忆录中没有提及，他的传记作者詹姆斯·格莱克（James Gleick）也不知道此事。这一想法最早的已知出处是道格拉斯·霍夫施塔特（Douglas Hofstadter）1985 年出版的著作《Metamagical Themas》。\n\n这一规律很有趣，但它并不构成反对正规性的证据。对于一个正规数而言，在十进制展开中如此靠前的位置出现某个特定的六位数字序列的概率约为 0.08%。然而，较长的类随机序列中包含许多这样的游程，其中一些会因偶然而在靠前的位置出现。另一个连续六个 9 的游程始于第 193,034 位，因此费曼点并不是唯一的。普通的数字串也会自由地反复出现：在圆周率的前一百万位中，数字串\"123456\"出现了好几次。那个关于 9 永远continue下去的玩笑，如果成立就意味着圆周率是有理数，而它并不是有理数。因此，费曼点是文化上的趣闻，而不是统计学上的发现。"
    },
    {
      "heading": "微积分与复分析中的π",
      "text": "π 有时会出现在并未画出圆的分析问题中。最著名的例子是巴塞尔问题，它要求计算倒数平方和的值。在此之前，包括伯努利家族成员在内的数学家都未能求出这个和。莱昂哈德·欧拉于 1735 年给出的解答表明，该和等于 \\(\\pi^2/6\\)：\n\n\\[\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^2} = \\frac{\\pi^2}{6}\\]\n\n欧拉的论证把 \\(\\sin x / x\\) 看作在 \\(\\pm n\\pi\\) 处有根的多项式，并将其展开为无穷乘积。比较 \\(x^2\\) 项的系数与 \\(\\sin x\\) 的泰勒级数中对应的系数，即可得到该和。按现代标准，这一方法并不完全严格，但后来人们对其做出了证明。该思路还可以推广：同样的推理给出 \\(\\zeta(2k)\\) 是 \\(\\pi^{2k}\\) 的有理倍数，例如 \\(\\zeta(4) = \\pi^4/90\\)，\\(\\zeta(6) = \\pi^6/945\\)，其中 \\(\\zeta\\) 是黎曼ζ函数。而对于 \\(\\zeta(3)\\)、\\(\\zeta(5)\\) 以及其他奇数自变量的值，目前尚未发现类似的、以 π 的幂次表示的闭式。\n\n高斯积分提供了 \\(\\sqrt{\\pi}\\) 进入微积分的第二条途径：\n\n\\[\\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-x^2}\\,dx = \\sqrt{\\pi}\\]\n\n该积分没有初等原函数，因此标准的求值方法是先将其平方，再把二重积分转化为极坐标。角度方向的积分跨越一整圈，贡献 \\(2\\pi\\)；径向积分贡献 \\(1/2\\)，因此积分的平方为 \\(\\pi\\)。同一个值在伽马函数中以 \\(\\Gamma(1/2)\\) 的形式出现，并且它决定了正态分布的归一化常数（将在概率部分讨论）。\n\n欧拉恒等式将 π 与指数函数联系起来。对于实数 \\(x\\)，\\(e^{ix}\\) 的幂级数可分解为 \\(\\cos x\\) 与 \\(\\sin x\\) 的幂级数，从而得到 \\(e^{ix} = \\cos x + i\\sin x\\)。令 \\(x = \\pi\\)，即得\n\n\\[e^{i\\pi} + 1 = 0\\]\n\n这一结果直接源于幂级数的定义，以及指数函数在三角周期性下的性质，因此与其把它看作一个令人惊讶的巧合，不如将其理解为：一个关于 π 如何决定复指数周期的简洁表述。\n\n复分析提供了一种从有理函数的积分中得到 π 的方法。对于在闭合围道内部及其上解析的函数 \\(f\\)，留数定理指出，该围道积分等于 \\(2\\pi i\\) 乘以所围极点处留数之和。因子 \\(2\\pi i\\) 对应复平面上的一整圈。例如，\\(1/(1+z^2)\\) 在 \\(z = i\\) 处有一个单极点，其留数为 \\(1/(2i)\\)，因此\n\n\\[\\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{dx}{1+x^2} = 2\\pi i \\cdot \\frac{1}{2i} = \\pi\\]\n\n将围道取在上半平面，并使其大圆弧部分的积分趋于零，即可得到这一结果。其他一些定积分，例如 \\(\\int_0^\\infty \\frac{\\sin x}{x}\\,dx = \\frac{\\pi}{2}\\)，通常可用围道积分或傅里叶方法计算。这些计算正是 π 在分析中出现、却无需任何几何输入的常见途径。"
    },
    {
      "heading": "几何与三角学中的圆周率",
      "text": "圆、圆盘与球体\n\n半径为 \\(r\\) 的圆，其周长为 \\(C = 2\\pi r\\)，面积为 \\(A = \\pi r^2\\)。同一个常数也出现在三维空间中：半径为 \\(r\\) 的球面面积为 \\(4\\pi r^2\\)，所围体积为 \\(\\tfrac{4}{3}\\pi r^3\\)。两个圆的公式彼此相关。若将圆盘切成许多细小扇形，再重新拼成近似的平行四边形，则其高为 \\(r\\)，底为周长的一半，因此面积为 \\(\\tfrac12 \\cdot 2\\pi r \\cdot r = \\pi r^2\\)。面积公式中的因子 π 与周长公式中的因子 2π 来自同一圆形几何。球体体积公式可以通过对圆形截面面积求和推导出来，这里同样会引入 π。\n\n弧度制与周期性\n\n角度最自然的度量单位是弧度。在半径为 \\(r\\) 的圆上，弧长为 \\(s\\) 的圆弧所对的圆心角为 \\(\\theta = s/r\\)，因此一周为 \\(2\\pi\\) 弧度，半周为 \\(\\pi\\)，直角为 \\(\\pi/2\\)。由于这一单位直接由圆本身定义，该常数是定义的一部分，而不是换算因子。这一点在分析学中十分重要。以弧度为角度单位时，\\(\\sin x\\) 的导数恰好为 \\(\\cos x\\)，泰勒展开式 \\(\\sin x = x - \\tfrac{x^3}{3!} + \\tfrac{x^5}{5!} - \\cdots\\) 也不需要任何额外常数。若改用度作为单位，同样的导数就会带上因子 \\(\\pi/180\\)。\n\n正弦和余弦都是周期为 \\(2\\pi\\) 的周期函数：\\(\\sin(x+2\\pi)=\\sin x\\)，\\(\\cos(x+2\\pi)=\\cos x\\)。数 2π 是这两个函数的基本周期，这也是它支配着傅里叶级数和信号处理中频率定义的原因。\n\n等周性质\n\n在所有给定长度的平面闭曲线中，圆所围的面积最大。等价地，在所有给定面积的图形中，圆的周长最小。用不等式表示，对于面积为 \\(A\\)、周长为 \\(L\\) 的区域，有 \\(4\\pi A \\le L^2\\)，且等号仅在圆时成立。这个问题由来已久，狄多问题的传说便是一个著名的例子，古希腊数学家已经了解正多边形与圆的这一结论。直到十九世纪，雅各布·斯坦纳才在19世纪40年代初给出了严格的一般性证明，他采用的是综合几何方法。在这一极值情形中，π 正是联系面积与周长的常数。\n\n曲率与非欧几何\n\nπ 的作用取决于曲面的几何性质。在半径为 1 的球面上，测地半径为 \\(r\\) 的圆，其周长为 \\(2\\pi\\sin r\\)，面积为 \\(2\\pi(1-\\cos r)\\)。在曲率为 \\(-1\\) 的双曲平面上，周长为 \\(2\\pi\\sinh r\\)，面积为 \\(2\\pi(\\cosh r-1)\\)。当 \\(r\\) 很小时，这两组表达式都趋近于欧几里得几何的结果，因此常数 2π 是平面的局部特征，而不是适用于所有空间的全局规律。\n\n高斯–博内定理使这一联系变得精确。对于闭的二维黎曼流形，高斯曲率在整个曲面上的积分等于 \\(2\\pi\\) 乘以其欧拉示性数，即 \\(\\iint_M K\\,dA = 2\\pi\\chi(M)\\)。因此，无论球面如何凹陷，其总曲率始终为 \\(4\\pi\\)，因为球面的欧拉示性数为 2。对于测地三角形，内角之和为 \\(\\pi + \\iint K\\,dA\\)。在平面上，内角和为 \\(\\pi\\)；在球面上，内角和大于 \\(\\pi\\)；在双曲曲面上则小于 \\(\\pi\\)。这里，π 衡量的是曲面上曲率与拓扑之间的平衡关系。"
    },
    {
      "heading": "圆周率在概率与统计中的应用",
      "text": "这个常数在概率论中最明显地出现在正态分布里。其密度函数为 \\[\\varphi(x)=\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}}\\,e^{-x^{2}/2},\\] 其中前置系数 \\(1/\\sqrt{2\\pi}\\) 使曲线下的总面积等于一。这一面积归结为高斯积分 \\(\\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-x^{2}}\\,dx=\\sqrt{\\pi}\\)，对变量作尺度变换后，\\(\\sqrt{\\pi}\\) 即变为 \\(\\sqrt{2\\pi}\\)。正态分布之所以出现，是因为大量独立随机因素之和的极限，这正是 中心极限定理 所描述的内容，因此这一常数会进入许多模型之中。其他分布则直接或通过特殊函数体现 π。柯西分布的密度 \\(1/(\\pi(1+x^{2}))\\) 的前置系数含有 π；卡方分布与学生 \\(t\\) 分布的归一化常数则用伽马函数表示，而伽马函数在 1/2 处的值为 \\(\\sqrt{\\pi}\\)。\n\n概率与 π 之间最早广为人知的联系是布丰投针问题，由乔治-路易·勒克勒克，即布丰伯爵，于 1777 年提出。若将一根长为 L 的针随机投落在一个平面上，该平面上画有间距为 D 的平行线，则针与平行线相交次数的期望为 2L/(πD)。针的长度不超过线间距这一限制，使得这里讨论的是相交的概率；并且只要把针弯成任意合理的平面曲线，该公式依然成立。由于答案中含有 π，进行实验的人只要数出相交次数，就可以反推出 π 的估计值。布丰的解法沉寂了 35 年，直到另一位法国分析学大家拉普拉斯才注意到，同一方法也可用来估计 π。拉普拉斯还评论说，这一实验会给出 π，\"……虽然误差很大\"。最著名的实物实验是马里奥·拉扎里尼于 1901 年完成的，他投掷针 3408 次，得到了著名的近似值 355/113，精确到小数点后六位。后来的分析表明，这一实验的设置似乎是为了得到这个目标值。拉扎里尼所用针的长度是条带宽度的 5/6，而计数 3408 恰为 213 × 16，这与一种以 355/113 为目标的停止策略相吻合。统计学家把这一结果视为确认偏误的教科书式案例。无论如何，手工实验本身效率低下：在 3400 次投掷中得到精确到小数点后五位的正确结果，其概率将不到 1.5%。\n\n蒙特卡洛方法 借助计算机应用了同样的原理。在正方形中均匀随机采样点，落在内切圆内的点所占比例即为面积之比，即 π/4。点落在四分之一圆内的概率等于四分之一圆的面积除以单位正方形的面积，也是 π/4。将观测到的比例乘以四，即得到估计值，它是 π/4 的一个无偏估计量。这种方法的弱点在于收敛速度。估计值的标准差仅以样本量 N 的平方根倒数的速度下降，对 N 个点大致为 \\(1.64/\\sqrt{N}\\)。因此，每多得到一位正确数字，就大约需要多百倍的样本；要得到十位可靠数字，则需要约 \\(3\\times10^{20}\\) 个点。小规模实验可以说明其中的随机波动：一次使用 500 次试验的蒙特卡洛计算，可能显示 π 为 3.04，也可能显示为 3.20，全看运气如何。对于高精度计算，这正是本词条其他部分所讨论的无穷级数与无穷乘积公式更为实用的原因；而蒙特卡洛方法则依然作为一种教学工具，以及用于处理没有闭式解的问题的通用工具而具有价值。\n\n斯特林公式给出了阶乘的渐近大小。常见形式为 \\[n!\\sim\\sqrt{2\\pi n}\\,\\left(\\frac{n}{e}\\right)^{n},\\] 其中符号 ∼ 表示两者是渐近等价的，即当 n 趋于无穷时，二者之比趋于 1。相对误差大致为 \\(1/(12n)\\)，因此对于中等大小的 n，该公式已经相当精确。其中的 \\(\\sqrt{2\\pi}\\) 因子并非随意得来。√(2π) 因子恰好来自高斯积分，而同一个高斯积分也用于正态分布的归一化，因此 π 通过相同的机制进入阶乘的渐近式。\n\n在统计力学与组合数学中，阶乘通常以对数形式出现，因为微观状态的重数是多项式系数。对于大的 N，常用的化简 \\(\\ln N!\\approx N\\ln N-N\\) 可推出理想气体的标准熵表达式。人们通常所说的斯特林近似，实际上是斯特林公式的一种近似，而被舍去的那一项正是考虑涨落的部分。因此，在某些分析中保留完整公式是有必要的。在组合数学中，同样的渐近式给出二项式系数，例如 \\(\\binom{2n}{n}\\sim 4^{n}/\\sqrt{\\pi n}\\)，因此在简单的掷硬币模型中，中心概率的大小中也会出现 π。"
    },
    {
      "heading": "圆周率在物理学与工程学中的应用",
      "text": "物理理论很少直接提到圆，但 π 却出现在许多方程之中。通常的原因在于几何。从一点、一条线或一个平面向外扩散的场或通量，会充满一个球面或圆柱面，而这些形状的表面积中含有因子 4π 或 2π。库仑定律就是典型例子。在国际单位制中，两个点电荷之间的力为 \\(F = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\frac{q_1 q_2}{r^2}\\)。其中的 4π 来自场线向外扩散时所经过的球面面积 \\(4\\pi r^2\\)。\n\n单位制的选择决定了这些因子出现在什么位置。在有理化单位制中，包括国际单位制和赫维赛德–洛伦兹单位制，微分形式的麦克斯韦方程组中不含显式的 4π，这一因子转而出现在平方反比力定律中。在未有理化的高斯单位制中，库仑定律没有 1/(4π)，但高斯定律在电荷密度前带有 4π，即 \\(\\nabla\\cdot\\mathbf{E} = 4\\pi\\rho\\)。赫维赛德–洛伦兹单位制同样是有理化的，这也部分解释了它为何用于量子场论，因为拉格朗日量中于是不再含有 4π 因子。历史背景颇为尴尬。十九世纪以库仑定律和安培定律为基础的电学单位，即使在不具有球对称或圆对称的问题中也会产生许多 4π 因子。大约从 1892 年起，奥利弗·赫维赛德主张 4π 应当放在力定律的分母中，他的提议促成了有理化的约定。在国际单位制中，真空磁导率 μ₀ 在 2019 年安培重新定义之前被定义为精确等于 \\(4\\pi \\times 10^{-7}\\) N/A²，此后 μ₀ 变成了需要测量的量。\n\n在量子力学中，因子 2π 通过从频率到角频率的转换而出现。普朗克常数 h 将能量与频率联系起来，即 \\(E = h\\nu\\)；而角频率 \\(\\omega = 2\\pi\\nu\\) 给出关系 \\(E = \\hbar\\omega\\)，其中 \\(\\hbar = h/2\\pi\\)。使用 ħ 可以去掉能量、动量和角动量公式中原本会反复出现的 2π。薛定谔方程 \\(i\\hbar\\,\\partial_t\\psi = \\hat H\\psi\\) 就是这样写的，对易关系和不确定性原理也是如此。角动量以 ħ 的整数倍量子化，因此 2π 以约化形式内含于基本作用量子之中。\n\n傅里叶分析呈现出同样的规律。频率为 f 的正弦波写作 \\(\\sin(2\\pi f t)\\)；若采用角频率形式，则写作 \\(\\sin(\\omega t)\\)。约定的选择会改变变换中常数的位置：有些教材用 \\(e^{-i\\omega t}\\) 加归一化因子来定义变换，另一些则用 \\(e^{-2\\pi i f t}\\) 且不加任何因子。物理内容完全相同，但常数的位置不同。在信号处理和工程领域，同样的区别对电路阻抗很重要，其中角频率 ω 出现在 \\(1/(j\\omega C)\\) 之类的表达式中；对波动现象而言，波数为 \\(k = 2\\pi/\\lambda\\)。在这些领域中，π 既通过正弦函数的周期性进入，也通过频率单位的定义进入。\n\n物理学家对这一规律的含义看法不一。一种观点认为，定律中的 π 反映了真实的几何结构，例如点源周围的总立体角 \\(4\\pi\\) 球面度，或高斯定律所计数的球面通量。按这种观点，π 的出现是有信息量的。第二种观点则把这些因子视为单位选取方式的产物，认为设计良好的单位制应当将其吸收。这场争论有实际影响：工程师通常偏好国际单位制，因为它把介电常数和磁导率保留为显式的量；而许多理论教材则偏好高斯或赫维赛德–洛伦兹约定。引力的例子表明，π 并不局限于电磁学。在广义相对论中，场方程含有 \\(8\\pi G\\)，而因子 8π 是通过匹配牛顿极限确定的：在牛顿极限下，引力势满足含 \\(4\\pi G\\rho\\) 的方程。这类常数究竟揭示的是自然的结构，还是描述的约定，仍是一个尚无定论的诠释性问题。"
    },
    {
      "heading": "符号与“tau”之争",
      "text": "符号的来源\n\n1706年，数学家威廉·琼斯（William Jones）在其著作《数学要义概览》（Synopsis palmariorum matheseos）中首次印刷了用 π 表示圆周长与直径之比的记法，据已知记载，这是最早的用法。MacTutor 数学史网站将他列为 William Jones（1675–1749）。选用这个字母，通常被解释为希腊语“周长”一词 perimetron 的缩写，不过这一动机是根据字母的选择推断出来的，琼斯的原文中并无明确记载。\n\n琼斯的记法起初并未引起多少注意，其推广主要依靠莱昂哈德·欧拉。各种资料对欧拉采用这一记法的时间说法不一。MacTutor 称，1736年欧拉在其《力学》（Mechanica）中写下了 1 : π；他在1748年的《无穷分析引论》（Introductio in Analysin Infinitorum）中使这一符号广为流行。另有说法认为他是在1737年采用的。有一种观点认为欧拉选用这个字母是取自自己名字的首字母，但这种说法被认为不太可能，因为欧拉在功劳归属上十分谦逊。\n\n更早的与地区性名称\n\n在某一符号成为标准之前，这一比值常以文字描述，或以分数形式给出上下界。阿基米德用分数给出上下界的传统一直延续到17世纪。例如，鲁道夫·范·科伊伦（Ludolph van Ceulen）的墓碑上，仍以阿基米德式的排列方式刻着以小数表示的上下界。\n\n这个数还带有人名。在德国，π 曾被称为“鲁道夫数”（Ludolphine number）；在荷兰，人们至今仍常用这一名称。这一名称是为了纪念鲁道夫·范·科伊伦，他在1596年出版的《论圆》（Van den Circkel）一书中给出了20位小数的值，后来又将其扩展到35位小数。他还要求将这两个界值刻在自己的墓碑上。\n\ntau 提案\n\n主张以 τ = 2π 取代 π 的理由分为两个阶段。鲍勃·帕莱斯（Bob Palais）2001年的文章《π 是错的！》（“π Is Wrong!”）认为，周长与半径之比是更自然的圆常数。随后，迈克尔·哈特尔（Michael Hartl）通过2010年的《Tau 宣言》（Tau Manifesto）推广了这一想法。在此之前或前后，也有其他人各自独立提出过使用同一符号。\n\n哈特尔给出了使用 τ 的两个理由。其一，τ 是一圈所对应的弧度数，而 τ 与英文单词 turn（转圈）的开头都发 /t/ 音。其二，τ 在字形上与 π 相似，而 π 与圆常数的联系是无法避免的。哈特尔还指出，因子 2π 在数学中出现得极为频繁，若将其写成单一常数，许多公式会更加清晰；而由 π 产生的多余因子2，在除以偶数时往往会别扭地相互抵消。他将由此产生的结果称为荒谬的。\n\n反对意见\n\n支持者承认，用 τ 代替 2π 并不改变任何基础数学内容，他们的主张关乎的是清晰度。批评者则指出，有些情况下这一改动反而会让公式更难读懂。例如，力矩涉及圆周运动，必然要用到某个圆常数，如果把每个 2π 都换成 τ，这些公式会变得更加繁琐。哈特尔回应说，人们低估了物理学家、工程师和数学家处理这类记号歧义的能力。\n\n哈特尔还将惰性归咎于学术界，认为一个新符号需要有名称、推广和排版上的支持，而数学家们已经有三百多年的时间来解决这个 π 的问题。物理学在实践中已部分采用了这一替代记法：约化普朗克常数 ħ 等于 h 除以 2π，这一用法现已成为标准。尽管如此，π 在教科书和研究中仍是占主导地位的记号。tau 的倡导者仍在持续推广这一理念，他们呼吁设立每年的“Tau 日”，即6月28日，以提高人们对这一概念的关注。"
    },
    {
      "heading": "计算实践与近似值",
      "text": "以二进制算术存储π\n\n几乎没有程序能够精确存储π。大多数编程语言使用 IEEE 754 定义的64位双精度浮点格式，该格式有52位尾数，外加一个隐含的前导位。它大约能提供十六位十进制有效数字（接近16位精度）。最接近π的双精度数是 3.141592653589793115997963468544185161590576171875，它与π的前约16位十进制数字一致。任何有限长度的二进制位串都无法表示π，因此每个程序实际使用的都是舍入后的近似值。（这一点在任何进制下都成立：若想用二进制精确存储π，就需要无限多的内存位。）\n\n标准库大多共用这一数值。对大多数脚本来说，Python 的 math.pi 是最快捷、无需额外依赖的选择，NumPy 中的常量与之完全相同。MATLAB 的 pi 返回 IEEE 双精度下最接近π值的浮点数。有些 API 在文档中会写出更多位数，但实际存储的仍是同一个64位数。例如，.NET 的 Double.Pi 字段写作 3.1415926535897931。\n\n为什么 sin(π) 不等于零\n\n浮点舍入误差在三角函数计算中清晰可见。在 Python 中，math.sin(math.pi) 返回约 1.22 × 10⁻¹⁶，而不是 0。存储的常数略小于π，而在π附近正弦函数的变化率接近 −1，因此输出结果大致就等于两个数之间的差距。MATLAB 的文档也描述了同样的现象，指出在浮点运算中结果并不精确为零。有些函数能避开这一问题：MATLAB 的 sinpi 函数计算 sin(Xpi)，但不显式计算 Xpi；对整数 n，sinpi(n) 精确为零。\n\n不同的语言和硬件在三角函数结果的最后几位上仍可能不一致。库函数采用的算法和舍入策略各不相同，因此即使输入的常数完全相同，也不能保证跨平台的逐位可重现性。\n\n舍入造成的误差传播\n\n截断常数造成的误差与其所乘的量成正比。用 3.14 代替π，绝对误差约为 0.0016，因此对于半径 1000 米的圆，计算出的周长比实际值短约 3.2 米。用双精度值代替π时，结果的变化量约为半径的 10⁻¹⁶ 倍，远低于任何物理测量的精度。这种量级的误差主要在两个几乎相等的量相减时才会产生影响，此时抵消现象会放大微小的舍入差异。这也是数值分析中数值稳定性分析的核心关注点。\n\n需要多少位数字\n\n对大多数工程工作来说，双精度绰绰有余。通俗读物常提到喷气推进实验室（JPL）：该实验室在行星际导航的最高精度计算中，只使用15位圆周率。一个常被引用的例子涉及与旅行者1号距离相当的圆，其周长误差不到1.5英寸。其他版本则使用周长为300亿英里的圆，并称误差小于半英寸（约1厘米）。这些数字在不同的二手资料中并不一致，因此应将其理解为对数量级的说明，而非官方技术规范。\n\n同样的道理也说明，额外的位数在何处不再有用。导航中的限制因素通常是物理测量的精度，而非常数本身。有资料指出，对于与可观测宇宙一样大的圆，大约40位圆周率就能使误差小于一个氢原子的大小。\n\n随机采样、积分与特殊函数\n\n科学计算软件在许多常规场景中都会用到π。随机角度生成器通常通过将 \\([0,1)\\) 上的均匀随机变量乘以 \\(2\\pi\\) 映射为角度，而存储常数的舍入只会使得到的分布在 10⁻¹⁶ 量级上产生扰动，对模拟而言可以忽略不计。蒙特卡洛方法通过在正方形内随机取点，并统计落在内切四分之一圆内的点所占比例来估计π。标准误差大致按 \\(1/\\sqrt{N}\\) 的速度下降，因此约 10⁸ 个样本只能得到 10⁻⁴ 量级的误差，效率远低于本文其他部分讨论的级数方法（参见蒙特卡洛方法）。\n\n数值积分库和特殊函数库同样依赖π。求积表、正态分布的归一化常数，以及伽马函数在 \\(\\Gamma(1/2)=\\sqrt{\\pi}\\) 等处的取值，通常都以双精度存储，因此其精度同样受限于16位有效数字。库的开发者因此通常在实际应用中将存储的常数视为精确值，同时仍会用更高精度的参考值来检验其例程。"
    },
    {
      "heading": "文化史与公众认知",
      "text": "圆周率的公众知名度，很大程度上源于一个节日。1988年3月，旧金山科学博物馆探索馆的物理学家拉里·肖在一次员工集体活动中，将3月14日的日期写法“3/14”与π的开头几位数字联系起来。首次庆祝活动规模很小。员工们绕着一块名为“圆周率圣坛”的圆形饰牌行走，牌上刻着这个常数的前一百位数字，随后大家一起吃水果派。活动定在下午1点59分开始，取的是3.14之后的几位数字。此后，馆内的庆祝活动保留了这些环节：列队绕行、吃派，以及为同样在3月14日出生的阿尔伯特·爱因斯坦唱《生日快乐》歌。肖后来也因此获得了“圆周率王子”的绰号。\n\n这个节日从一家博物馆传播到了更广泛的公众之中。2009年，美国众议院支持正式设立圆周率日。庆祝活动也走进了课堂，教师借此开展教学；面包店和食品杂货店则常在这一天为派提供折扣。圆周率日也成为展示记忆能力的场合。背诵圆周率数字的比赛如今已是庆祝活动的常见环节，这种爱好有时被称为“圆周率记诵术”（piphilology）。若干年后，联合国教科文组织将3月14日定为国际数学日，足见一个起源于博物馆员工集体活动的玩笑，已经传播得多么广远。\n\n公众对π的了解，还来自一次立法插曲。1897年，在医生埃德温·J. 古德温的推动下，议员泰勒·I. 雷科德提出印第安纳州众议院第246号法案，声称为化圆为方提供了一项“新的数学真理”。法案的措辞隐含着直径与周长之比为5/4比4，也就是π = 3.2。1897年2月5日，众议院以67票赞成、0票反对通过了该法案。普渡大学数学教授克拉伦斯·A. 沃尔多当时恰好身在州议会大厦，他协助阻止了法案继续推进，参议院也于同年2月决定将其无限期搁置。关于细节，各种记述并不一致：有的说参议员们先是哄堂大笑，随后才搁置法案；而法案文本本身又如此自相矛盾，以至于数学家戴维·辛格马斯特从中数出了好几个不同的π值。这件事通常被当作喜剧故事讲述，但它确实是一次试图以法律规定数学事实的有据可查的事例。\n\n圆周率也出现在虚构作品中，不过往往只是出现在标题里，而非以常数本身的形式出现。卡尔·萨根的小说《接触》（1985年）及其1997年的电影改编版，都围绕着一条隐藏在π的小数位中的信息展开；这一情节设定借用了公众认为这些数字蕴含某种意义的观念。达伦·阿伦诺夫斯基的电影《死亡密码》（Pi，1998年）讲述了一位痴迷于寻找数字规律的数学家的故事。扬·马特尔的小说《少年派的奇幻漂流》（Life of Pi，2001年）则以人物的昵称命名，并非得名于这个常数。这些数字的吸引力，在于它们看似随机，却又无穷无尽、精确确定，而且可以用简单的方式表述。许多从不计算圆面积的人，也知道圆周率的小数位永远没有尽头。\n\n以近似值为主题的纪念日，则展现了另一种吸引公众的方式。圆周率近似值日定在7月22日，按“日／月”的格式写作22/7。分数22/7作为圆周率的近似值，精确到小数点后两位，其使用可追溯至阿基米德，因此这一天庆祝的是一个简单的有理数替代值，而不是这个常数本身。与之竞争的另一个纪念日是6月28日（6/28）的τ日，纪念的是2π，呼应了以τ = 2π取代π的提议。综合来看，这些纪念活动表明，相比抽象的比值，公众长久以来更偏爱一个好记的数字、一个日期，或一盘派。\n\n<!-- 所用来源：见来源区块 -->"
    },
    {
      "heading": "开放问题与未来方向",
      "text": "π 是否为正规数\n\n最著名的开放问题是 π 是否为正规数。在十进制下，正规性意味着给定长度的每一个数字块都以相同的长期频率出现。目前没有人能够证明 π 对任何整数 b 是 b 进制正规数，更不用说同时对所有进制成立。经验证据强烈支持这一点。在圆周率的前六十亿位小数中，数字 0 至 9 各自出现约六亿次。2016 年的一项检验考察了 22.4 万亿位十进制小数，在十进制和十六进制下检查了长度不超过三的所有数字块，结果显示所有计算得到的频率都与 π 在这些进制下为正规数的假设相符。\n\n这些结果并不构成证明，而且差距是结构性的。有限的数据只能在有限的意义上否证正规性，检验任意有限位数永远不足以给出证明。一个较弱的性质是\"可分性\"（disjunctivity），它只要求每个有限字符串都在展开式中某处出现，而我们同样不知道 π 是否具有这一性质。因此，这一开放问题不仅在于找到正确的统计方法，还在于找到超越计数的证明技术。有研究者认为，只有引入更强大的技术，关于正规性的问题才可能取得实质进展。\n\n无理测度与组合的超越性\n\n对于已知常数的和与积，已知结果要弱得多。无理测度 μ(π) 刻画了 π 能被有理数逼近到何种程度。2020 年 Zeilberger–Zudilin 给出的界为 7.103205334137...，改进了 Salikhov（2008 年）此前得到的 7.606308。2026 年的一篇预印本声称将其进一步微降至 7.101862832357（arXiv 页面称这是同一方法的改进，而非新的结构性结果）。这类界在稳步改进，但仍远高于许多专家所怀疑的真实值。人们普遍猜测 μ(π) = 2，而目前的进展表明 μ(π) ≤ 7.104...，且这一上界随时间不断下降。若能证明 μ(π) ≤ 5/2，将产生一个具体的推论：Flint-Hills 级数的收敛性将得到解决。\n\n超越性则是另一回事。Lindemann–Weierstrass 定理解决了许多指数函数的代数组合问题，但它无法判定 \\(\\pi + e\\) 或 \\(\\pi e\\) 是否为超越数。人们相信这两个数都是超越数，并且已知其中至少有一个必定是超越数，但两者都尚未被单独证明。关于哪些常见常数的和与积是超越数，这一更广泛的问题基本上仍未解决，而可用来攻克它的通用工具也寥寥无几。\n\n数字纪录的极限\n\n数字纪录仍在不断刷新，也引出了还存在哪些极限的问题。2025 年 5 月，Kioxia 与 Linus Media Group 组成的联合团队宣布成功计算出 300 万亿位小数。随后，StorageReview 报告计算出 314 万亿位，所用设备为一台 2U 规格的 Dell PowerEdge R7725 服务器，配有双路 AMD EPYC 192 核 CPU 以及四十块 61.44 TB 的 Micron 6550 Ion SSD。此次运算在完成前连续运行了约 110 天。\n\n瓶颈正越来越多地来自存储，而非算术运算。本次运算的原始输出（包括检查点）超过了 2PB 的数据量。因此，未来的纪录将与新算法一样，依赖于持续的存储带宽、电力、散热以及持续数月的可靠性。另一个问题是，更快的级数或硬件能否无限期地推进这一前沿。实际需求其实很小：据美国国家航空航天局喷气推进实验室（NASA 的 JPL）称，只需约 37 位小数，就能将可观测宇宙的周长算到一个氢原子的宽度之内。因此，更大的位数主要服务于基准测试、硬件测试和统计检验，而非任何物理上的需要。\n\n数字序列中的结构\n\n数字序列是否包含可探测的结构，同样尚无定论。已有人用图形方法把数字展示为随机游走，但对 π 的数字进行的大规模统计分析，至今未能就其正规性给出明确结论。机器学习方法也曾被尝试：2018 年的一项研究指出，尚不清楚 π（或以二进制伪装形式出现的 π'）是否为正规数，不过 π 的前三千万位数字已经相当均匀。\n\n仍然开放的问题包括：压缩算法能否将 π 的数字与相同长度的随机序列区分开来，以及对数字序列进行谱分析能否揭示任何规律。回答这些问题将表明，在算法意义上，π 的数字是否真正随机。这一论断目前的证据尚未确立。"
    }
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  "links": [
    "mathematical-analysis",
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  "sources": [
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      "title": "faculty of science and engineering Irrationality proofs of e and π",
      "url": "https://fse.studenttheses.ub.rug.nl/27100/1/mSEC_2022_MolRJ.pdf"
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      "title": "Johann Heinrich Lambert (1728 - 1777) - Biography - MacTutor History of Mathematics",
      "url": "https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lambert/"
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    {
      "title": "Transcendence of e and π Taha Rhaouti April 2023 1 Introduction 1.1 e and π",
      "url": "https://jonathanlove.info/teaching/23-NT/rhaouti.pdf"
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      "title": "info prev up next book cdrom email home",
      "url": "https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/t/t234.htm"
    },
    {
      "title": "Some transcendence results from a harmless irrationality theorem",
      "url": "https://ar5iv.labs.arxiv.org/html/1310.7289"
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    {
      "title": "The Irrationality Measure of Pi is at most 7.103205334137...",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/1912.06345"
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    {
      "title": "The irrationality measure of {\\pi} is at most 7.101862832357",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/2609.11276"
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    {
      "title": "Proof that pi is irrational",
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    {
      "title": "Some transcendence results from a harmless irrationality theorem",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/1310.7289"
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    {
      "title": "Proof that π is irrational - HandWiki",
      "url": "https://handwiki.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational"
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    {
      "title": "www.arxiv.org",
      "url": "https://www.arxiv.org/pdf/0911.1929"
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    {
      "title": "Linear Differential Equations as a Data-Structure",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/1811.08616"
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    {
      "title": "graphsearch.epfl.ch",
      "url": "https://graphsearch.epfl.ch/en/concept/12792547"
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    {
      "title": "THE IRRATIONALITY MEASURE OF π IS AT MOST 7.103205334137 . . .",
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      "title": "A New World Record for the Irrationality Measure of Pi",
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    {
      "title": "Irrationality Measure -- from Wolfram MathWorld",
      "url": "https://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html"
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      "title": "Two hypergeometric tales and a new irrationality measure of $\\zeta(2)$",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/1310.1526"
    },
    {
      "title": "Open Diophantine Problems",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/math/0312440"
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      "title": "Mesopotamian Slides",
      "url": "https://public.csusm.edu/aitken_html/m330/Meso/"
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      "title": "Pythagorean Theorem in Elamite Mathematics",
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      "title": "Pi",
      "url": "https://www.britannica.com/science/pi-mathematics"
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      "title": "Babylonian mathematics",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Babylonian_mathematics"
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      "title": "Units of Measurement: Pi in the Ancient Egyptian Rhind Mathematical Papyrus Brewminate: A Bold Blend of News and Ideas",
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      "title": "Rhind Mathematical Papyrus — Grokipedia",
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      "title": "Circle",
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    {
      "title": "A Reconstruction, Assessment, Error Analysis and Simulation of a Method for Measuring {\\pi} That Could Have Been Used 3000 Years Ago",
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      "title": "Circle - MacTutor History of Mathematics",
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      "title": "Origins: 3.14159265… - Biblical Archaeology Society",
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      "title": "Approximations of π — Grokipedia",
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      "title": "How Archimedes showed that π is approximately equal to 22/7",
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      "title": "Archimedes and Pi",
      "url": "https://www.cs.miami.edu/home/burt/manuscripts/archimedes/archimedes_pi.html"
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      "title": "Archimedes' calculations of square roots",
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      "title": "Approximations of pi",
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      "title": "Ramanujan in Computing Technology",
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      "title": "Liu Hui’s 𝜋 algorithm vs Archimedes’ 𝜋 algorithm - Maths from the Past",
      "url": "https://maths-from-the-past.org/liu-huis-%F0%9D%9C%8B-algorithm-vs-archimedes-%F0%9D%9C%8B-algorithm/"
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    {
      "title": "Liu Hui（a famous mathematician of the Wei and Jin Periods）_Baiduwiki",
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    {
      "title": "Liu Hui",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Liu_Hui"
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    {
      "title": "Liu Hui%27s %CF%80 algorithm",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Liu_Hui%27s_%CF%80_algorithm"
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      "title": "Method of exhaustion",
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      "title": "Zhao Youqin",
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      "title": "Zu Chongzhi",
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    {
      "title": "Zu Chongzhi (429 - 501) - Biography - MacTutor History of Mathematics",
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      "title": "Mil%C3%BC",
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      "title": "Zu Chongzhi - New World Encyclopedia",
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      "title": "Kerala School - Ancient Indian Mathematics - Ancient Indian Mathematics",
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    {
      "title": "Madhava series - Bharatpedia",
      "url": "https://en.bharatpedia.org/wiki/Madhava_series"
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    {
      "title": "Madhava series — Grokipedia",
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    {
      "title": "Madhava of Sangamagrama: Infinite Series for π, Sin & Cos — 300 Years Before Newton",
      "url": "https://dsremo.com/vedic/mathematics/madhava/"
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    {
      "title": "Viète's formula",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Vi%C3%A8te's_formula"
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    {
      "title": "Oldest series for pi",
      "url": "https://www.johndcook.com/blog/2012/07/20/oldest-series-for-pi/"
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      "title": "On the periodic continued radicals of 2 and generalization for Vieta product",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/1304.5659"
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    {
      "title": "Wallis product",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product"
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    {
      "title": "New derivation of pi links quantum physics and pure math",
      "url": "https://phys.org/news/2015-11-derivation-pi-links-quantum-physics.html"
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    {
      "title": "An elementary proof of Wallis’ product formula for pi Johan W¨astlund",
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    {
      "title": "Wallis-Ramanujan-Schur-Feynman",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/1004.2453"
    },
    {
      "title": "arXiv:0712.1332v2 [math.NT] 19 May 2008 Ramanujan-type formulae for 1/π:",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/0712.1332"
    },
    {
      "title": "Practical Implementation of π Algorithms.",
      "url": "https://hvks.com/Numerical/Downloads/HVE%20Practical%20implementation%20of%20PI%20Algorithms.pdf"
    },
    {
      "title": "(PDF) A method for proving Ramanujan series for 1/π",
      "url": "https://www.researchgate.net/publication/326505968_A_method_for_proving_Ramanujan_series_for_1p"
    },
    {
      "title": "Ramanujan–Sato series — Grokipedia",
      "url": "https://grokipedia.com/page/Ramanujan%E2%80%93Sato_series"
    },
    {
      "title": "An extension of the Chudnovsky algorithm",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/2403.07291"
    },
    {
      "title": "A detailed proof of the Chudnovsky formula with means of basic complex analysis -- Ein ausf\\\"uhrlicher Beweis der Chudnovsky-Formel mit elementarer Funktionentheorie",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/1809.00533"
    },
    {
      "title": "Chudnovsky algorithm",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_algorithm"
    },
    {
      "title": "Bailey%E2%80%93Borwein%E2%80%93Plouffe formula",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Bailey%E2%80%93Borwein%E2%80%93Plouffe_formula"
    },
    {
      "title": "The BBP Algorithm for Pi David H. Bailey∗ September 17, 2006 1. Introduction",
      "url": "https://www.davidhbailey.com/dhbpapers/bbp-alg.pdf"
    },
    {
      "title": "Bellard%27s formula",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Bellard%27s_formula"
    },
    {
      "title": "[2104.12412] On the elegance of Ramanujan's series for $π$",
      "url": "https://arxiv.org/abs/2104.12412"
    },
    {
      "title": "(PDF) The BBP Algorithm for Pi",
      "url": "https://www.researchgate.net/publication/228702113_The_BBP_Algorithm_for_Pi"
    },
    {
      "title": "History of the formulas and algorithms for pi",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/0807.0872"
    },
    {
      "title": "A174277 - OEIS",
      "url": "https://oeis.org/A174277"
    },
    {
      "title": "The Eniac and Pi",
      "url": "https://www.wittenberg.edu/news/2013/03-14-pi"
    },
    {
      "title": "The first 4,000,000 digits of Pi, visualized in a single image",
      "url": "https://gizmodo.com/the-first-4-000-000-digits-of-pi-visualized-in-a-singl-5904812"
    },
    {
      "title": "Pi Day: Breakthrough 'Obliterates' The World Record For Calculating Pi : ScienceAlert",
      "url": "https://www.sciencealert.com/pi-day-breakthrough-obliterates-the-world-record-for-calculating-pi"
    },
    {
      "title": "StorageReview Sets New Pi Record: 314 Trillion Digits on a Dell PowerEdge R7725 - StorageReview.com",
      "url": "https://www.storagereview.com/review/storagereview-sets-new-pi-record-314-trillion-digits-on-a-dell-poweredge-r7725"
    },
    {
      "title": "Pi has been calculated to trillions of digits ‪—‬ is that completely irrational?",
      "url": "https://www.livescience.com/physics-mathematics/mathematics/pi-has-been-calculated-to-trillions-of-digits-is-that-completely-irrational"
    },
    {
      "title": "KIOXIA and Linus Media Group set world record for pi calculation",
      "url": "https://europe.kioxia.com/en-europe/business/news/2025/20250519-1.html"
    },
    {
      "title": "Kioxia-powered storage cluster helps push PI calculation to a whopping 300 trillion digits",
      "url": "https://www.techradar.com/pro/its-2025-and-another-tech-publisher-has-broken-the-pi-calculation-world-record-with-300-trillion-digits"
    },
    {
      "title": "A single server just crushed cloud computing with 314 trillion digits of pi and far less power",
      "url": "https://www.techradar.com/pro/anyone-for-a-slice-of-record-pi-new-landmark-sees-314-trillion-digits-calculated-as-news-site-trounces-google-cloud-for-now"
    },
    {
      "title": "Pi Day Special: From Archimedes to Modern Computing - Kronecker Wallis",
      "url": "https://www.kroneckerwallis.com/pi-day-special-from-archimedes-to-modern-computing/"
    },
    {
      "title": "Kioxia and Linus Media Group Set World Record for Pi Calculation",
      "url": "https://apac.kioxia.com/en-apac/about/news/2025/20250519-1.html"
    },
    {
      "title": "300 trillion digit Pi value calculated in new world record by KIOXIA and Linus Tech Tips",
      "url": "https://www.tweaktown.com/news/105290/300-trillion-digit-pi-value-calculated-in-new-world-record-by-kioxia-and-linus-tech-tips/index.html"
    },
    {
      "title": "Pi calculated to 314,000,000,000,000 digits breaks world record - GIGAZINE",
      "url": "https://gigazine.net/gsc_news/en/20251226-pi-314-trillion-digits"
    },
    {
      "title": "Can $\\pi$ generate itself? A Monte Carlo analysis of 314 trillion digits",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/2608.06438"
    },
    {
      "title": "An Analysis of Digit Summation Patterns in the Expansion of Pi: An Inquiry into Order and Randomness",
      "url": "https://zenodo.org/records/18305063"
    },
    {
      "title": "On the genesis of BBP formulas",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/1906.09629"
    },
    {
      "title": "Digit Statistics of the First 22.4 Trillion Decimal Digits of Pi",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/1612.00489"
    },
    {
      "title": "Hausdorff's forgotten proof that almost all numbers are normal",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/2102.00493"
    },
    {
      "title": "faculteit Wiskunde en Natuurwetenschappen BBP-numbers and normality",
      "url": "https://fse.studenttheses.ub.rug.nl/8432/1/Jurjen_Heegen_WB_2008.pdf"
    },
    {
      "title": "Pi Fractions for Generating Uniformly Distributed Sampling Points in Global Search and Optimization Algorithms",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/1401.3038"
    },
    {
      "title": "Feynman point - Wikipedia, the free encyclopedia",
      "url": "http://taggedwiki.zubiaga.org/new_content/182d4600389dbddefefb6ffe17c78e82"
    },
    {
      "title": "Six nines in pi",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Six_nines_in_pi"
    },
    {
      "title": "What does feynman point mean?",
      "url": "https://www.definitions.net/definition/feynman+point"
    },
    {
      "title": "Does π contain all possible number combinations? - GeeksforGeeks",
      "url": "https://www.geeksforgeeks.org/engineering-mathematics/does-%cf%80-contain-all-possible-number-combinations/"
    },
    {
      "title": "Normality of pi tested with 22.4 trillion decimal digits",
      "url": "https://pi2e.ch/blog/2016/10/27/is-pi-normal/"
    },
    {
      "title": "Chance and the Continuum Hypothesis",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/2112.12858"
    },
    {
      "title": "Gauss%E2%80%93Bonnet theorem",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2%80%93Bonnet_theorem"
    },
    {
      "title": "Gauss-Bonnet Formula -- from Wolfram MathWorld",
      "url": "https://mathworld.wolfram.com/Gauss-BonnetFormula.html"
    },
    {
      "title": "Gauss-Bonnet Theorem - an overview",
      "url": "https://www.sciencedirect.com/topics/mathematics/gauss-bonnet-theorem"
    },
    {
      "title": "Isoperimetric inequality",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Isoperimetric_inequality"
    },
    {
      "title": "Isoperimetric inequality — Grokipedia",
      "url": "https://grokipedia.com/page/Isoperimetric_inequality"
    },
    {
      "title": "The Isoperimetric Inequality: Proofs by Convex and ...",
      "url": "https://scholar.rose-hulman.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1380&context=rhumj"
    },
    {
      "title": "How many zeros of a random polynomial are real?",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/math/9501224"
    },
    {
      "title": "Chapter 2 THE BUFFON’S NEEDLE PROBLEM: FIRST MONTE CARLO SIMULATION",
      "url": "https://mragheb.com/NPRE%20498MC%20Monte%20Carlo%20Simulations%20in%20Engineering/The%20Buffon's%20Needle%20Problem.pdf"
    },
    {
      "title": "Three Lectures on Probability and Statistics",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/1610.05590"
    },
    {
      "title": "Buffon%27s needle problem",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Buffon%27s_needle_problem"
    },
    {
      "title": "Monte Carlo estimates of pi and an important statistical lesson - The DO Loop",
      "url": "https://blogs.sas.com/content/iml/2016/03/14/monte-carlo-estimates-of-pi.html"
    },
    {
      "title": "The wrapping hull and a unified framework for volume estimation",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/1703.01658"
    },
    {
      "title": "Introduction to Monte Carlo Methods in Chemistry",
      "url": "https://people.chem.ucsb.edu/kahn/kalju/MonteCarlo_1.html"
    },
    {
      "title": "Stirling's approximation",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling's_approximation"
    },
    {
      "title": "Stirling's Approximation: How Big Is n Factorial, Really?",
      "url": "https://world-of-mathematics.com/blog/stirling-approximation/"
    },
    {
      "title": "(PDF) Plea for the use of the exact Stirling formula in statistical mechanics",
      "url": "https://www.researchgate.net/publication/365633521_Plea_for_the_use_of_the_exact_Stirling_formula_in_statistical_mechanics"
    },
    {
      "title": "Buffon's needle problem",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Buffon's_needle_problem"
    },
    {
      "title": "Estimating Pi Using Monte Carlo Methods",
      "url": "https://medium.com/the-modern-scientist/estimating-pi-using-monte-carlo-methods-dbdf26c888d6"
    },
    {
      "title": "Stirling's Approximation Calculator - CalculatorHub",
      "url": "https://calculatorhub.com/tools/stirling-approximation-calculator/"
    },
    {
      "title": "Heaviside%E2%80%93Lorentz units",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Heaviside%E2%80%93Lorentz_units"
    },
    {
      "title": "Gaussian units",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_units"
    },
    {
      "title": "Babel of Units. The Evolution of Units Systems in Classical Electromagnetism",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/1506.01951"
    },
    {
      "title": "1.5: Coulomb's Law - Physics LibreTexts",
      "url": "https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Electricity_and_Magnetism/Electricity_and_Magnetism_(Tatum)/01:_Electric_Fields/1.05:_Coulomb's_Law"
    },
    {
      "title": "The vacuum impedance and unit systems",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/physics/0607056"
    },
    {
      "title": "From Qubit to Qubit: A Graduate Course in Quantum Mechanics",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/2605.01585"
    },
    {
      "title": "Reduced Planck's Constant",
      "url": "https://fiveable.me/physical-chemistry-ii/key-terms/reduced-plancks-constant"
    },
    {
      "title": "Planck relation",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Planck_relation"
    },
    {
      "title": "An Ahistorical Approach to Elementary Physics",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/2010.10271"
    },
    {
      "title": "Ferromagnetic Phase Transitions in Neutron Stars",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/1305.7346"
    },
    {
      "title": "Earliest Uses of Symbols for Constants - MacTutor History of Mathematics",
      "url": "https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathsym/constants/"
    },
    {
      "title": "Digits of Pi",
      "url": "https://www.ams.org/publicoutreach/math-history/hap-6-pi.pdf"
    },
    {
      "title": "Ludolph Van Ceulen (1540 - 1610) - Biography - MacTutor History of Mathematics",
      "url": "https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Van_Ceulen/"
    },
    {
      "title": "Ludolph van Ceulen - The Linda Hall",
      "url": "https://www.lindahall.org/about/news/scientist-of-the-day/ludolph-van-ceulen/"
    },
    {
      "title": "Ludolph van Ceulen",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Ludolph_van_Ceulen"
    },
    {
      "title": "Tau (mathematics) — Grokipedia",
      "url": "https://grokipedia.com/page/tau_mathematics"
    },
    {
      "title": "Tau (mathematics)",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Tau_(mathematics)"
    },
    {
      "title": "THE TAU MANIFESTO Michael Hartl Tau Day, 2010 updated Tau Day, 2023",
      "url": "https://www.tauday.com/tau_manifesto.pdf"
    },
    {
      "title": "The Tao of Tau",
      "url": "https://www.scientificamerican.com/blog/observations/the-tao-of-tau/"
    },
    {
      "title": "The Tau Manifesto Michael Hartl Tau Day, 2010 updated Half Tau Day, 2013 1",
      "url": "https://blogimages.bloggen.be/gnomon/attach/200948.pdf"
    },
    {
      "title": "No, really, pi is wrong: The Tau Manifesto",
      "url": "https://www.tauday.com/state-of-the-tau"
    },
    {
      "title": "A Brief History of Pi (π)",
      "url": "https://www.exploratorium.edu/pi/history-of-pi"
    },
    {
      "title": "Michael Hartl",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Hartl"
    },
    {
      "title": "The Tau Manifesto Michael Hartl Tau Day, 2010 1 The circle constant",
      "url": "https://hexnet.org/files/documents/tau-manifesto.pdf"
    },
    {
      "title": "Embedded Wednesdays: Floating Point Numbers — Embedded",
      "url": "https://embedded.fm/blog/2016/4/12/ew-floating-point"
    },
    {
      "title": "Pi and e In Binary - Exploring Binary",
      "url": "https://www.exploringbinary.com/pi-and-e-in-binary/"
    },
    {
      "title": "Why $\\sin(\\pi)\\neq0$ in python — Keith Pedersen",
      "url": "https://www.hepguy.com/blog/sin-pi"
    },
    {
      "title": "How to Write Pi in Python: math.pi, numpy.pi, scipy, and More",
      "url": "https://docs.kanaries.net/topics/Python/python-pi"
    },
    {
      "title": "pi - Ratio of circle's circumference to its diameter - MATLAB",
      "url": "https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/pi.html"
    },
    {
      "title": "Double.Pi Field",
      "url": "https://learn.microsoft.com/fr-fr/dotnet/api/system.double.pi"
    },
    {
      "title": "lost-contact.mit.edu",
      "url": "https://lost-contact.mit.edu/afs/inf.ed.ac.uk/group/teaching/matlab-help/R2016b/matlab/ref/pi.html"
    },
    {
      "title": "cs400-web.cs.wisc.edu",
      "url": "https://cs400-web.cs.wisc.edu/nchou/s/matlab-2020b/amd64_ubu22/help/matlab/ref/double.sinpi.html"
    },
    {
      "title": "even after 22 trillion digits were still no closer to the end of pi",
      "url": "https://fivethirtyeight.com/features/even-after-22-trillion-digits-were-still-no-closer-to-the-end-of-pi"
    },
    {
      "title": "The Pi Paradox: Why NASA and Your Computer Only Care About the First 15 Digits",
      "url": "https://www.oddlyverified.com/the-pi-paradox-why-nasa-and-your-computer-only-care-about-the-first-15-digits/"
    },
    {
      "title": "Your pi, my pi",
      "url": "https://ideapharma.substack.com/p/your-pi-my-pi"
    },
    {
      "title": "How Many Decimal Places is Pi Accurate in Single, Double, and Extended-Precision Floating-Point Numbers? — codegenes.net",
      "url": "https://www.codegenes.net/blog/pi-and-accuracy-of-a-floating-point-number/"
    },
    {
      "title": "www.ibm.com",
      "url": "https://www.ibm.com/docs/en/ssw_ibm_i_75/db2/rbafzscapi.htm"
    },
    {
      "title": "Floating-Point Numbers - MATLAB & Simulink",
      "url": "https://www.mathworks.com/help/matlab/matlab_prog/floating-point-numbers.html"
    },
    {
      "title": "Pi Day",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Pi_Day"
    },
    {
      "title": "Larry Shaw (physicist)",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Shaw_(physicist)"
    },
    {
      "title": "Guide to Celebrating Pi (π) Day",
      "url": "https://www.exploratorium.edu/pi/guide-celebrating-pi-day"
    },
    {
      "title": "What is Pi Day and why do we celebrate the holiday? - ABC News",
      "url": "https://abcnews.com/amp/US/pi-day-celebrate-holiday/story?id=83390087"
    },
    {
      "title": "Pi Day: San Francisco Exploratorium honors holiday it made",
      "url": "https://www.sfexaminer.com/culture/museums-and-galleries/pi-day-san-francisco-exploratorium-honors-holiday-it-made/article_38645826-e186-11ee-9452-c7fce6c75671.html"
    },
    {
      "title": "Indiana pi bill",
      "url": "https://en.wikipedia.org/wiki/Indiana_pi_bill"
    },
    {
      "title": "Pi Saved - LIX (Polytechnique)",
      "url": "https://www.lix.polytechnique.fr/Labo/Ilan.Vardi/pi.html"
    },
    {
      "title": "The Eccentric Crank Who Tried To Legislate The Value Of Pi",
      "url": "https://gizmodo.com/the-eccentric-crank-who-tried-to-legislate-the-value-of-5880792"
    },
    {
      "title": "The Indiana Pi Bill and the Attempt to Redefine Mathematics Through Legislative Fiat - Commonplace Fun Facts",
      "url": "https://commonplacefacts.com/2020/05/17/the-indiana-pi-bill-and-the-attempt-to-redefine-mathematics-through-legislative-fiat/"
    },
    {
      "title": "π (Pi) Approximation Day: July 22",
      "url": "https://risingkashmir.com/%CF%80-pi-approximation-day-july-22"
    },
    {
      "title": "Pi Day is upon us again and we still do not know if Pi is normal",
      "url": "https://carmamaths.org/resources/jon/pi-monthly.pdf"
    },
    {
      "title": "Are The Digits Of Pi Random? A Berkeley Lab Researcher May Hold The Key",
      "url": "https://www.sciencedaily.com/releases/2001/07/010725081838.htm"
    },
    {
      "title": "Does Pi Contain All of Shakespeare?",
      "url": "https://www.scientificamerican.com/article/does-pi-contain-all-of-shakespeare/"
    },
    {
      "title": "Bounds on Irrationality Measures and the Flint-Hills Series",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/2208.13356"
    },
    {
      "title": "Backblaze Now Serving 314 Trillion Digits of Pi",
      "url": "https://www.backblaze.com/blog/backblaze-now-serving-314-trillion-digits-of-pi/"
    },
    {
      "title": "Learning from Pseudo-Randomness With an Artificial Neural Network - Does God Play Pseudo-Dice?",
      "url": "https://arxiv.org/pdf/1801.01117"
    },
    {
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